Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$

Etapa 1

Assuma que todas as soluções são da forma $y = e^{r x}$ .

Etapa 2

Encontre a equação característica para $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Etapa 2.3

Substitua na equação diferencial.

$r^{2} e^{r x} - 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Etapa 2.4

Remova os parênteses.

$r^{2} e^{r x} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Etapa 2.5

Fatore $e^{r x}$ .

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Etapa 2.5.1

Fatore $e^{r x}$ de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Etapa 2.5.2

Fatore $e^{r x}$ de $- 3 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Etapa 2.5.3

Fatore $e^{r x}$ de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Etapa 2.5.4

Fatore $e^{r x}$ de $2 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 4 x^{2}$

Etapa 2.5.5

Fatore $e^{r x}$ de $e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r + 2) = 4 x^{2}$

Etapa 2.6

Como as exponenciais nunca podem ser zero, divida ambos os lados por $e^{r x}$ .

$r^{2} - 3 r + 2 = 4 x^{2}$

Etapa 3

Resolva $r$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $4 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$r^{2} - 3 r + 2 - 4 x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 3$ e $c = 2 - 4 x^{2}$ na fórmula quadrática e resolva $r$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 - 4 x^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.6

Subtraia $8$ de $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.6

Subtraia $8$ de $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Etapa 3.5.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.6

Subtraia $8$ de $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Etapa 3.6.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Etapa 3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Etapa 4

Com os dois valores encontrados de $r$ , duas soluções podem ser construídas.

$y_{1} = e^{\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

$y_{2} = e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

Etapa 5

Pelo princípio da superposição, a solução geral é uma combinação linear das duas soluções para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.

$y = c_{1} e^{\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$ e $x$ .

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

Etapa 6.2

Combine $\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$ e $x$ .

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{(3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}}$