Cálculo Exemplos

$(2 x y^{2} - 3 y^{3}) d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x y^{2} - 3 y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} - 3 y^{3}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y^{2}$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3 y^{3}$ em relação a $y$ é $- 3 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 3 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 3 (3 y^{2})$

Etapa 1.4.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 9 y^{2}$

Etapa 1.5

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y^{2} + 4 x y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 7 - 3 x y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [7 - 3 x y^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 - 3 x y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x y^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 y^{2} \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 y^{2}$

Etapa 2.4

Subtraia $3 y^{2}$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $- 9 y^{2} + 4 x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 3 y^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 9 y^{2} + 4 x y = - 3 y^{2}$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 9 y^{2} + 4 x y = - 3 y^{2}$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 3 y^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 3 y^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $- 9 y^{2} + 4 x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 3 y^{2} - (- 9 y^{2} + 4 x y)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ por $M$ .

$\frac{- 3 y^{2} - (- 9 y^{2} + 4 x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 y^{2} - (- 9 y^{2}) - (4 x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 y^{2} + 9 y^{2} - (4 x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 y^{2} + 9 y^{2} - 4 (x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Etapa 4.3.2.4

Some $- 3 y^{2}$ e $9 y^{2}$ .

$\frac{6 y^{2} - 4 x y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Etapa 4.3.2.5

Fatore $2 y$ de $6 y^{2} - 4 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Fatore $2 y$ de $6 y^{2}$ .

$\frac{2 y (3 y) - 4 x y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Etapa 4.3.2.5.2

Fatore $2 y$ de $- 4 x y$ .

$\frac{2 y (3 y) + 2 y (- 2 x)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Etapa 4.3.2.5.3

Fatore $2 y$ de $2 y (3 y) + 2 y (- 2 x)$ .

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Etapa 4.3.3

Fatore $y^{2}$ de $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $y^{2}$ de $2 x y^{2}$ .

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{y^{2} (2 x) - 3 y^{3}}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $y^{2}$ de $- 3 y^{3}$ .

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)$ .

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{y^{2} (2 x - 3 y)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $y$ de $2 y (3 y - 2 x)$ .

$\frac{y (2 (3 y - 2 x))}{y^{2} (2 x - 3 y)}$

Etapa 4.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1

Fatore $y$ de $y^{2} (2 x - 3 y)$ .

$\frac{y (2 (3 y - 2 x))}{y (y (2 x - 3 y))}$

Etapa 4.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y (2 (3 y - 2 x))}{y (y (2 x - 3 y))}$

Etapa 4.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (3 y - 2 x)}{y (2 x - 3 y)}$

Etapa 4.3.5

Cancele o fator comum de $3 y - 2 x$ e $2 x - 3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Fatore $- 1$ de $3 y$ .

$\frac{2 (- (- 3 y) - 2 x)}{y (2 x - 3 y)}$

Etapa 4.3.5.2

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- (- 3 y) - (2 x))}{y (2 x - 3 y)}$

Etapa 4.3.5.3

Fatore $- 1$ de $- (- 3 y) - (2 x)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y + 2 x))}{y (2 x - 3 y)}$

Etapa 4.3.5.4

Reescreva $- (- 3 y + 2 x)$ como $- 1 (- 3 y + 2 x)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 3 y + 2 x))}{y (2 x - 3 y)}$

Etapa 4.3.5.5

Reordene os termos.

$\frac{2 (- 1 (2 x - 3 y))}{y (2 x - 3 y)}$

Etapa 4.3.5.6

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 1 (2 x - 3 y))}{y (2 x - 3 y)}$

Etapa 4.3.5.7

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Etapa 4.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Etapa 4.3.7

Substitua $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| y |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(2 x y^{2} - 3 y^{3}) d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x y^{2} - 3 y^{3}) \frac{1}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y^{2} - 3 y^{3}}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.3

Fatore $y^{2}$ de $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $y^{2}$ de $2 x y^{2}$ .

$\frac{y^{2} (2 x) - 3 y^{3}}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Fatore $y^{2}$ de $- 3 y^{3}$ .

$\frac{y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.3.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)$ .

$\frac{y^{2} (2 x - 3 y)}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} (2 x - 3 y)}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.4.2

Divida $2 x - 3 y$ por $1$ .

$(2 x - 3 y) d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $7 - 3 x y^{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x - 3 y) d x + (7 - 3 x y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $7 - 3 x y^{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x - 3 y) d x + \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x - 3 y d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = 2 x - 3 y$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int - 3 y d x$

Etapa 8.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int - 3 y d x$

Etapa 8.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 y d x$

Etapa 8.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 y x + C$

Etapa 8.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 y x + C$

Etapa 8.6

Simplifique.

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 3 y x + g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 11.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 y x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 11.2.2

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 3 y x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $- 3 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3 y x$ em relação a $y$ é $- 3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 11.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$0 - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$0 - 3 x + \frac{d g}{d y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 11.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Subtraia $3 x$ de $0$ .

$- 3 x + \frac{d g}{d y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 11.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - 3 x = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Some $3 x$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}} + 3 x$

Etapa 12.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.1

Divida a fração $\frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$ em duas frações.

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} + \frac{- 3 x y^{2}}{y^{2}} + 3 x$

Etapa 12.1.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} + \frac{- 3 x y^{2}}{y^{2}} + 3 x$

Etapa 12.1.2.2.2

Divida $- 3 x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} - 3 x + 3 x$

Etapa 12.1.3

Combine os termos opostos em $\frac{7}{y^{2}} - 3 x + 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1

Some $- 3 x$ e $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} + 0$

Etapa 12.1.3.2

Some $\frac{7}{y^{2}}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $\frac{7}{y^{2}}$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{7}{y^{2}} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{7}{y^{2}} d y$

Etapa 13.3

Como $7$ é constante com relação a $y$ , mova $7$ para fora da integral.

$g (y) = 7 \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Etapa 13.4

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$g (y) = 7 \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Etapa 13.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = 7 \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Etapa 13.5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$g (y) = 7 \int y^{- 2} d y$

Etapa 13.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$g (y) = 7 (- y^{- 1} + C)$

Etapa 13.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.7.1

Reescreva $7 (- y^{- 1} + C)$ como $7 (- \frac{1}{y}) + C$ .

$g (y) = 7 (- \frac{1}{y}) + C$

Etapa 13.7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.7.2.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$g (y) = - 7 \frac{1}{y} + C$

Etapa 13.7.2.2

Combine $- 7$ e $\frac{1}{y}$ .

$g (y) = \frac{- 7}{y} + C$

Etapa 13.7.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g (y) = - \frac{7}{y} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = x^{2} - 3 y x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x - \frac{7}{y} + C$