Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x {(2 + x^{2})}^{4}$ , $y (0) = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = 2 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 2 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $2 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{2}]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.1.1.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{4} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $u^{4}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{4}}{2} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{4} d u$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Reescreva $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C_{2})$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 5} u^{5} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{10} u^{5} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 + x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$ .

$0 = \frac{1}{10} {(2 + 0^{2})}^{5} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0^{2})}^{5} + K = 0$ .

$\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0^{2})}^{5} + K = 0$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0)}^{5} + K = 0$

Etapa 4.2.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot 2^{5} + K = 0$

Etapa 4.2.3

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$\frac{1}{10} \cdot 32 + K = 0$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{1}{2 (5)} \cdot 32 + K = 0$

Etapa 4.2.4.2

Fatore $2$ de $32$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + K = 0$

Etapa 4.2.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + K = 0$

Etapa 4.2.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5} \cdot 16 + K = 0$

Etapa 4.2.5

Combine $\frac{1}{5}$ e $16$ .

$\frac{16}{5} + K = 0$

Etapa 4.3

Subtraia $\frac{16}{5}$ dos dois lados da equação.

$K = - \frac{16}{5}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{16}{5}$ por $K$ em $y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- \frac{16}{5}$ por $K$ .

$y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Use o teorema binomial.

$y = \frac{1}{10} (2^{5} + 5 \cdot 2^{4} x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 5 \cdot 2^{4} x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.2.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 5 \cdot 16 x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.2.3

Multiplique $5$ por $16$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.2.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 10 \cdot 8 {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.2.5

Multiplique $10$ por $8$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.2.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{2 \cdot 2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.2.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.2.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 10 \cdot 4 {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.2.8

Multiplique $10$ por $4$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.2.9

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{3}$ .

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Etapa 5.2.2.9.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{2 \cdot 3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.2.9.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.2.10

Multiplique $5$ por $2$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.2.11

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{4}$ .

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Etapa 5.2.2.11.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{2 \cdot 4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.2.11.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.2.12

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{5}$ .

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Etapa 5.2.2.12.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + x^{2 \cdot 5}) - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.2.12.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + x^{10}) - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1}{10} \cdot 32 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.4

Simplifique.

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.4.1.1

Fatore $2$ de $10$ .

$y = \frac{1}{2 (5)} \cdot 32 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.4.1.2

Fatore $2$ de $32$ .

$y = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.4.1.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.4.1.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{1}{5} \cdot 16 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.4.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $16$ .

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.4.3

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 5.2.4.3.1

Fatore $10$ de $80 x^{2}$ .

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{2})) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.4.3.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{2})) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.4.3.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.4.4

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 5.2.4.4.1

Fatore $10$ de $80 x^{4}$ .

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{4})) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.4.4.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{4})) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.4.4.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.4.5

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 5.2.4.5.1

Fatore $10$ de $40 x^{6}$ .

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (10 (4 x^{6})) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.4.5.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (10 (4 x^{6})) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.4.5.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.4.6

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 5.2.4.6.1

Fatore $10$ de $10 x^{8}$ .

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 (x^{8})) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.4.6.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.4.6.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.2.4.7

Combine $\frac{1}{10}$ e $x^{10}$ .

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} - \frac{16}{5}$

Etapa 5.3

Combine os termos opostos em $\frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} - \frac{16}{5}$ .

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Etapa 5.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + \frac{16 - 16}{5}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $16$ de $16$ .

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + \frac{0}{5}$

Etapa 5.3.3

Divida $0$ por $5$ .

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + 0$

Etapa 5.3.4

Some $8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10}$ e $0$ .

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10}$