Cálculo Exemplos

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = 1$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Fatore $y$ de $y \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y (\cos (x)) = 1$

Etapa 1.2

Reordene $y$ e $\cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = 1$

Etapa 2

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $\sin (x) y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = y$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sin (x) y' + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\sin (x) y' + y \cos (x)$

Etapa 2.4

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x)$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 1$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$\sin (x) y = \int d x$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$\sin (x) y = x + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $\sin (x) y = x + C$ por $\sin (x)$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $\sin (x) y = x + C$ por $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Separe as frações.

$y = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 7.3.1.2

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$y = \frac{x}{1} \csc (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 7.3.1.3

Divida $x$ por $1$ .

$y = x \csc (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 7.3.1.4

Separe as frações.

$y = x \csc (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 7.3.1.5

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$y = x \csc (x) + \frac{C}{1} \csc (x)$

Etapa 7.3.1.6

Divida $C$ por $1$ .

$y = x \csc (x) + C \csc (x)$