Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x e^{x^{2} + y}$

Etapa 1

Deixe $v = e^{x^{2} + y}$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $e^{x^{2} + y}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x v$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d x}$ ao diferenciar $e^{x^{2} + y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} + y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} + y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} + y} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} + y} (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Etapa 3

Substitua $v$ por $e^{x^{2} + y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (2 x + y')$

Etapa 4

Substitua a derivada na equação diferencial.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} - 2 x = 2 x v$

Etapa 5

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Resolva $\frac{d v}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 2 x v + 2 x$

Etapa 5.1.2

Multiplique os dois lados por $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (2 x v + 2 x) v$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (2 x v + 2 x) v$

Etapa 5.1.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = (2 x v + 2 x) v$

Etapa 5.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1

Simplifique $(2 x v + 2 x) v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d v}{d x} = 2 x v \cdot v + 2 x v$

Etapa 5.1.3.2.1.2

Multiplique $v$ por $v$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1.2.1

Mova $v$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 x (v \cdot v) + 2 x v$

Etapa 5.1.3.2.1.2.2

Multiplique $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 x v^{2} + 2 x v$

Etapa 5.1.3.2.1.3

Mova $x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v^{2} x + 2 x v$

Etapa 5.1.3.2.1.4

Mova $x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v^{2} x + 2 v x$

Etapa 5.2

Fatore $2 v x$ de $2 v^{2} x + 2 v x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2 v x$ de $2 v^{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v x (v) + 2 v x$

Etapa 5.2.2

Fatore $2 v x$ de $2 v x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v x (v) + 2 v x (1)$

Etapa 5.2.3

Fatore $2 v x$ de $2 v x (v) + 2 v x (1)$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v x (v + 1)$

Etapa 5.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{v (v + 1)}$ .

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (v + 1)} (2 v x (v + 1))$

Etapa 5.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 \frac{1}{v (v + 1)} (v x (v + 1))$

Etapa 5.4.2

Combine $2$ e $\frac{1}{v (v + 1)}$ .

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v (v + 1)} (v x (v + 1))$

Etapa 5.4.3

Cancele o fator comum de $v (v + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Fatore $v (v + 1)$ de $v x (v + 1)$ .

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v (v + 1)} (v (v + 1) (x))$

Etapa 5.4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v (v + 1)} (v (v + 1) x)$

Etapa 5.4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 x$

Etapa 5.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{v (v + 1)} d v = 2 x d x$

Etapa 6

Integre os dois lados.

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Etapa 6.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{v (v + 1)} d v = \int 2 x d x$

Etapa 6.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 6.2.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 6.2.1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $v (v + 1)$ .

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $v$ .

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Etapa 6.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $v + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.5.1

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.5.1.2

Divida $A (v + 1)$ por $1$ .

$1 = A (v + 1) + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.5.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.5.4

Cancele o fator comum de $v + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.5.4.2

Divida $B v$ por $1$ .

$1 = A v + A + B v$

Etapa 6.2.1.1.6

Mova $A$ .

$1 = A v + B v + A$

Etapa 6.2.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 6.2.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $v$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 6.2.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $v$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 6.2.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Etapa 6.2.1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 6.2.1.3.1

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Etapa 6.2.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Etapa 6.2.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Etapa 6.2.1.3.3

Resolva $B$ em $0 = 1 + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.3.1

Reescreva a equação como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Etapa 6.2.1.3.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Etapa 6.2.1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = - 1 A = 1$

Etapa 6.2.1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = - 1, A = 1$

Etapa 6.2.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{1}{v} + \frac{- 1}{v + 1}$

Etapa 6.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 1} d v = \int 2 x d x$

Etapa 6.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{1}{v + 1} d v = \int 2 x d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{v}$ com relação a $v$ é $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} + \int - \frac{1}{v + 1} d v = \int 2 x d x$

Etapa 6.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $v$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{1}{v + 1} d v = \int 2 x d x$

Etapa 6.2.5

Deixe $u_{2} = v + 1$ . Depois, $d u_{2} = d v$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.2.5.1

Deixe $u_{2} = v + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.5.1.1

Diferencie $v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [v + 1]$

Etapa 6.2.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $v + 1$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Etapa 6.2.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [1]$

Etapa 6.2.5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $1$ em relação a $v$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.2.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2.5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int 2 x d x$

Etapa 6.2.6

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int 2 x d x$

Etapa 6.2.7

Simplifique.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int 2 x d x$

Etapa 6.3

Integre o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = 2 \int x d x$

Etapa 6.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Etapa 6.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 6.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 6.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 6.3.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

Etapa 6.3.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

Etapa 6.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x^{2} + C$

Etapa 7

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = x^{2} + C$

Etapa 7.2

Para resolver $v$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{x^{2} + C}$

Etapa 7.3

Reescreva $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = x^{2} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Etapa 7.4

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Reescreva a equação como $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{x^{2} + C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{x^{2} + C}$

Etapa 7.4.2

Multiplique os dois lados por $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{x^{2} + C} | u_{2} |$

Etapa 7.4.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.3.1

Cancele o fator comum de $| u_{2} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{x^{2} + C} | u_{2} |$

Etapa 7.4.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| v | = e^{x^{2} + C} | u_{2} |$

Etapa 7.4.4

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.4.1

Reordene os fatores em $e^{x^{2} + C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{x^{2} + C}$

Etapa 7.4.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{x^{2} + C}$

Etapa 8

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reescreva $e^{x^{2} + C}$ como $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{x^{2}} e^{C})$

Etapa 8.2

Reordene $e^{x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{x^{2}})$

Etapa 8.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$v = C | u_{2} | e^{x^{2}}$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $e^{x^{2} + y}$ .

$e^{x^{2} + y} = C | u_{2} | e^{x^{2}}$

Etapa 10

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x^{2} + y}) = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Etapa 10.2

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Expanda $\ln (e^{x^{2} + y})$ movendo $x^{2} + y$ para fora do logaritmo.

$(x^{2} + y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Etapa 10.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(x^{2} + y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Etapa 10.2.3

Multiplique $x^{2} + y$ por $1$ .

$x^{2} + y = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Etapa 10.3

Expanda o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Reescreva $\ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$ como $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x^{2}})$ .

$x^{2} + y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Etapa 10.3.2

Reescreva $\ln (C | u_{2} |)$ como $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ .

$x^{2} + y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Etapa 10.3.3

Expanda $\ln (e^{x^{2}})$ movendo $x^{2}$ para fora do logaritmo.

$x^{2} + y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x^{2} \ln (e)$

Etapa 10.3.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x^{2} + y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x^{2} \cdot 1$

Etapa 10.3.5

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x^{2}$

Etapa 10.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x^{2} + y = \ln (C | u_{2} |) + x^{2}$

Etapa 10.5

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y = \ln (C | u_{2} |) + x^{2} - x^{2}$

Etapa 10.5.2

Combine os termos opostos em $\ln (C | u_{2} |) + x^{2} - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

Etapa 10.5.2.2

Some $\ln (C | u_{2} |)$ e $0$ .

$y = \ln (C | u_{2} |)$