Cálculo Exemplos

$4 x y d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $4 x y d x$ dos dois lados da equação.

$(x^{2} + 1) d y = - 4 x y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} d y = - 4 \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Etapa 3.3

Combine $- 4$ e $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $y$ de $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (x y) d x$

Etapa 3.4.2

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Etapa 3.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Etapa 3.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{x^{2} + 1} x d x$

Etapa 3.5

Combine $\frac{- 4}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4.3.2

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 4.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4.3.4

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.4.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.4.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 4.3.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.4.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 4.3.4.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 4.3.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 4.3.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 4.3.7

Simplifique.

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Etapa 4.3.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.7.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 4.3.7.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.7.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.7.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 4.3.9

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 4.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| y |) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) = C$

Etapa 5.2.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| y |) + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = C$

Etapa 5.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = C$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2})} = e^{C}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y | {(x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ .

$| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ por ${(x^{2} + 1)}^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ por ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Etapa 5.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.5.2.2.1.2

Divida $| y |$ por $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.5.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm \frac{C}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$