Cálculo Exemplos

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) y = 1$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $\cos (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) y = 1$ por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 1.3

Fatore $y$ de $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 1.4

Reordene $y$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 2.2.1

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$e^{\int \tan (x) d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\tan (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (\sec (x))}$

Etapa 2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\sec (x)$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\sec (x)$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{\cos (x)}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3.2.5

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3.2.5.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3.2.5.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3.2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3.2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3.3

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3.4

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Etapa 3.4.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Etapa 3.4.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Etapa 3.4.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Etapa 3.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.1

Separe as frações.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.5.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.5.3

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.5.4

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.5.5

Separe as frações.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.5.6

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.5.7

Separe as frações.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.5.8

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.5.9

Divida $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.6

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7

Reescreva $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Etapa 3.8

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

Etapa 3.9

Reordene os fatores em $\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec^{2} (x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\sec (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 7

Como a derivada de $\tan (x)$ é $\sec^{2} (x)$ , a integral de $\sec^{2} (x)$ é $\tan (x)$ .

$\sec (x) y = \tan (x) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $\sec (x) y = \tan (x) + C$ por $\sec (x)$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $\sec (x) y = \tan (x) + C$ por $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $\sec (x)$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$y = \frac{\tan (x)}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.3.1.2

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.3.1.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.3.1.4

Escreva $\cos (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.3.1.5

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 8.3.1.5.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.3.1.5.2

Reescreva a expressão.

$y = \sin (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.3.1.6

Separe as frações.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Etapa 8.3.1.7

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Etapa 8.3.1.8

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

Etapa 8.3.1.9

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

Etapa 8.3.1.10

Divida $C$ por $1$ .

$y = \sin (x) + C \cos (x)$