Cálculo Exemplos

$e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1) d x + 3 y^{2} (x e^{x} - 6) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)]$

Etapa 1.2

Como $e^{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ em relação a $y$ é $e^{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + x y^{3} + 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + x y^{3} + 1]$

Etapa 1.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} + x y^{3} + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 1.5

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y^{3}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 1.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 1.7

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 \cdot x y^{2} + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 1.8

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 x y^{2} + 0)$

Etapa 1.9

Some $3 y^{2} + 3 x y^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 x y^{2})$

Etapa 1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2}) + e^{x} (3 x y^{2})$

Etapa 1.10.2

Mova $3$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} y^{2} + e^{x} (3 x y^{2})$

Etapa 1.10.3

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} (x e^{x} - 6)]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ em relação a $x$ é $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x e^{x} - 6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x e^{x} - 6]$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x e^{x} - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Etapa 2.5.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6])$

Etapa 2.5.3

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} + 0)$

Etapa 2.5.4

Some $x e^{x} + e^{x}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x})$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x}) + 3 y^{2} e^{x}$

Etapa 2.6.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} (x e^{x} - 6) d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = 3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Como $3 (x e^{x} - 6)$ é constante com relação a $y$ , mova $3 (x e^{x} - 6)$ para fora da integral.

$f (x, y) = 3 (x e^{x} - 6) \int y^{2} d y$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (x e^{x} - 6) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Etapa 5.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.3.1

Reescreva $3 (x e^{x} - 6) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ como $(3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$

Etapa 5.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3} + C$

Etapa 5.3.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.3.1

Reordene os termos.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$

Etapa 5.3.3.2

Remova os parênteses.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}]$ .

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Etapa 8.3.1

Combine $y^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 8.3.2

Como $\frac{y^{3}}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $(3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [3 x e^{x} - 18]$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [3 x e^{x} - 18] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 8.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x e^{x} - 18$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 8.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x e^{x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 8.3.5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 8.3.6

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 8.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 8.3.8

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 8.3.9

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x}) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 8.3.10

Some $3 (x e^{x} + e^{x})$ e $0$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 8.3.11

Combine $3$ e $\frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{3 y^{3}}{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 8.3.12

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.3.12.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y^{3}}{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 8.3.12.2

Divida $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} (x e^{x}) + y^{3} e^{x} + \frac{d g}{d x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 8.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} y^{3} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Etapa 9.1.2

Simplifique $e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ .

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Etapa 9.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x} \cdot 1$

Etapa 9.1.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.2.1

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x}$

Etapa 9.1.2.2.2

Reordene os fatores em $e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x}$

Etapa 9.1.3

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.3.1

Subtraia $y^{3} x e^{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x}$

Etapa 9.1.3.2

Subtraia $y^{3} e^{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x} - y^{3} e^{x}$

Etapa 9.1.3.3

Combine os termos opostos em $y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x} - y^{3} e^{x}$ .

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Etapa 9.1.3.3.1

Reorganize os fatores nos termos $x y^{3} e^{x}$ e $- y^{3} x e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} - e^{x} y^{3} x - y^{3} e^{x}$

Etapa 9.1.3.3.2

Subtraia $e^{x} y^{3} x$ de $e^{x} y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + 0 + e^{x} - y^{3} e^{x}$

Etapa 9.1.3.3.3

Some $y^{3} e^{x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} e^{x}$

Etapa 9.1.3.3.4

Subtraia $y^{3} e^{x}$ de $y^{3} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + e^{x}$

Etapa 9.1.3.3.5

Some $0$ e $e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $e^{x}$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int e^{x} d x$

Etapa 10.3

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$g (x) = e^{x} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + e^{x} + C$

Etapa 12

Simplifique $f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + e^{x} + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = (3 x e^{x} \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Etapa 12.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.1

Fatore $3$ de $3 x e^{x}$ .

$f (x, y) = (3 (x e^{x}) \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Etapa 12.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = (3 (x e^{x}) \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Etapa 12.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = (x e^{x} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Etapa 12.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1

Fatore $3$ de $- 18$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 3 (- 6) \frac{1}{3}) y^{3} + e^{x} + C$

Etapa 12.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = (x e^{x} + 3 \cdot - 6 \frac{1}{3}) y^{3} + e^{x} + C$

Etapa 12.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = (x e^{x} - 6) y^{3} + e^{x} + C$

Etapa 12.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = x e^{x} y^{3} - 6 y^{3} + e^{x} + C$

Etapa 12.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = x e^{x} y^{3} - 6 y^{3} + e^{x} + C$ .

$f (x, y) = x y^{3} e^{x} - 6 y^{3} + e^{x} + C$