Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = y^{2} x^{2} + y^{2} + 1 + x^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Fatore.

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Etapa 1.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{d y}{d x} = (y^{2} x^{2} + y^{2}) + 1 + x^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Etapa 1.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x^{2} + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (y^{2} + 1)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((x^{2} + 1) (y^{2} + 1))$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y^{2} + 1$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $y^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) (x^{2} + 1))$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) (x^{2} + 1))$

Etapa 1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = (x^{2} + 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1

Reordene $y^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ com relação a $y$ é $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + x + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$y = \tan (\frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \tan (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$