Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{3 y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{3 y}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $y$ de $3 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{y \cdot 3}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{y \cdot 3}$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{3}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y d y = \frac{\sqrt{x}}{3} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int \frac{\sqrt{x}}{3} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{3} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \int \sqrt{x} d x$

Etapa 2.3.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.4.1

Reescreva $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}} + K$