Cálculo Exemplos

$(x - y^{2} x) d x + (y - x^{2} y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x - y^{2} x$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - y^{2} x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y^{2} x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$

Etapa 1.2.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{2} x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{2} x$ em relação a $y$ é $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y$

Etapa 1.4

Subtraia $2 x y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y - x^{2} y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x^{2} y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - x^{2} y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Etapa 2.2.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2} y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y (2 x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 y x$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Subtraia $2 y x$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y x$

Etapa 2.4.2

Reordene os fatores de $- 2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 2 x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x y = - 2 x y$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- 2 x y = - 2 x y$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x - y^{2} x d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = x - y^{2} x$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int x d x + \int - y^{2} x d x$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y^{2} x d x$

Etapa 5.3

Como $- y^{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $- y^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C - y^{2} \int x d x$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.5

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.6

Simplifique.

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Etapa 5.6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.6.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

Etapa 5.7

Simplifique.

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Etapa 5.7.1

Reordene os termos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2}) + C$

Etapa 5.7.2

Remova os parênteses.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) y^{2} + C$

Etapa 5.7.3

Remova os parênteses.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y - x^{2} y$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)] = y - x^{2} y$

Etapa 8.2

Diferencie.

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Etapa 8.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Etapa 8.2.2

Como $\frac{1}{2} x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

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Etapa 8.3.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Etapa 8.3.2

Combine $y^{2}$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Etapa 8.3.3

Como $- \frac{x^{2}}{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- \frac{y^{2} x^{2}}{2}$ em relação a $y$ é $- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Etapa 8.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 \frac{x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Etapa 8.3.6

Combine $- 2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{- 2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Etapa 8.3.7

Combine $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ e $y$ .

$0 + \frac{- 2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Etapa 8.3.8

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 8.3.8.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} y$ .

$0 + \frac{2 (- x^{2} y)}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Etapa 8.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$0 + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Etapa 8.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Etapa 8.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{- x^{2} y}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Etapa 8.3.8.2.4

Divida $- x^{2} y$ por $1$ .

$0 - x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$0 - x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y - x^{2} y$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Subtraia $x^{2} y$ de $0$ .

$- x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y - x^{2} y$

Etapa 8.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} y = y - x^{2} y$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Some $x^{2} y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = y - x^{2} y + x^{2} y$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $y - x^{2} y + x^{2} y$ .

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Etapa 9.1.2.1

Some $- x^{2} y$ e $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $y$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Etapa 10.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 12.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 12.3

Combine $y^{2}$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 12.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$