Cálculo Exemplos

$y d x = x d y$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$x d y = y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} y d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} y d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} y d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x y} y d x$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} y d x$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} y d x$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = C$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{C}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| x |}$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{C}$

Etapa 5.5.2

Multiplique os dois lados por $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.3.1

Cancele o fator comum de $| x |$ .

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Etapa 5.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Etapa 5.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{C} | x |$

Etapa 5.5.4

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.4.1

Reordene os fatores em $e^{C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{C}$

Etapa 5.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{C}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm | x | C$

Etapa 6.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C | x |$