Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d y} = \frac{(1 + 2 y^{2})}{y \sin (x)}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$

Etapa 1.3.2

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.2.1

Reordene $\sin (x)$ e $\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x) \sin (x)$

Etapa 1.3.2.2

Adicione parênteses.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\csc (x) \sin (x))$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva $\sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$ em termos de senos e cossenos.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x))$

Etapa 1.3.2.4

Cancele os fatores comuns.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $\frac{1 + 2 y^{2}}{y}$ por $1$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\sin (x) d x = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \sin (x) d x = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a fração em diversas frações.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} + \frac{2 y^{2}}{y} d y$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y^{2}}{y} d y$

Etapa 2.3.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

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Etapa 2.3.3.1

Fatore $y$ de $2 y^{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y} d y$

Etapa 2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.3.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y^{1}} d y$

Etapa 2.3.3.2.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

Etapa 2.3.3.2.3

Cancele o fator comum.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

Etapa 2.3.3.2.4

Reescreva a expressão.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y}{1} d y$

Etapa 2.3.3.2.5

Divida $2 y$ por $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int 2 y d y$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + \int 2 y d y$

Etapa 2.3.5

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 \int y d y$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{3})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Simplifique.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.7.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.7.2.2.2

Reescreva a expressão.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 1 y^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.7.2.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + y^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.8

Reordene os termos.

$- \cos (x) + C_{1} = y^{2} + \ln (| y |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$\cos (x) = - 1 \cdot y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$\cos (x) = - y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (| y |)}{- 1}$ .

$\cos (x) = - y^{2} - 1 \cdot \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot \ln (| y |)$ como $- \ln (| y |)$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.5

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - 1 \cdot C$

Etapa 3.1.3.1.6

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - C$

Etapa 3.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) - C)$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) + C)$