Cálculo Exemplos

$\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$ por $\cot (x)$ .

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $\cot (x)$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 1.3

Fatore $y$ de $\frac{- 2 y}{\cot (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 1.4

Reordene $y$ e $\frac{- 2}{\cot (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{\cot (x)} y = \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{- 2}{\cot (x)}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{- 2}{\cot (x)} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{- 2}{\cot (x)}$ .

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Etapa 2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{\int - \frac{2}{\cot (x)} d x}$

Etapa 2.2.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{2}{\cot (x)} d x}$

Etapa 2.2.3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{\cot (x)} d x)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.2.4.1

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$e^{- (2 \int \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} d x)}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{- (2 \int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x)}$

Etapa 2.2.4.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$e^{- (2 \int \tan (x) d x)}$

Etapa 2.2.4.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \tan (x) d x}$

Etapa 2.2.5

A integral de $\tan (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$e^{- 2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 2 \ln (\sec (x))}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (\sec^{- 2} (x))}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\sec^{- 2} (x)$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 2.7

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 2.8

Reescreva $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$

Etapa 2.9

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}})}^{2}$

Etapa 2.10

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

${(1 \cos (x))}^{2}$

Etapa 2.11

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x)$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\cos^{2} (x)$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Separe as frações.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 3.2.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 3.2.4

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 3.2.5

Simplifique.

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Etapa 3.2.5.1

Reescreva a expressão.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 3.2.5.2

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 3.2.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 3.2.7

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.2.7.1

Fatore $\cos (x)$ de $\frac{- 2}{1} \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 3.2.7.2

Cancele o fator comum.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 3.2.7.3

Reescreva a expressão.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 3.2.8

Combine $\frac{- 2}{1}$ e $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x)}{1} \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 3.2.9

Combine $\frac{- 2 \cos (x)}{1}$ e $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{1} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 3.2.10

Divida $- 2 \cos (x) \sin (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Etapa 3.3

Separe as frações.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)})$

Etapa 3.4

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}})$

Etapa 3.5

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Etapa 3.6

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Reescreva a expressão.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Etapa 3.7.2

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Etapa 3.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.9

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.9.1

Fatore $\cos (x)$ de $\frac{5}{1} \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.9.2

Cancele o fator comum.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.9.3

Reescreva a expressão.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos (x) \sin (x)$

Etapa 3.10

Combine $\frac{5}{1}$ e $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x)}{1} \sin (x)$

Etapa 3.11

Combine $\frac{5 \cos (x)}{1}$ e $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x) \sin (x)}{1}$

Etapa 3.12

Divida $5 \cos (x) \sin (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 3.13

Reordene os fatores em $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 y \cos (x) \sin (x) = 5 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] = 5 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] d x = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\cos^{2} (x) y = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$\cos^{2} (x) y = 5 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 7.2

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.2.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 7.2.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 7.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\cos^{2} (x) y = 5 \int - u d u$

Etapa 7.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\cos^{2} (x) y = 5 (- \int u d u)$

Etapa 7.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 \int u d u$

Etapa 7.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Etapa 7.6

Simplifique.

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Etapa 7.6.1

Reescreva $- 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ como $- 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Etapa 7.6.2

Simplifique.

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Etapa 7.6.2.1

Combine $- 5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) y = \frac{- 5}{2} u^{2} + C$

Etapa 7.6.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} u^{2} + C$

Etapa 7.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ por $\cos^{2} (x)$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ por $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (x)$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (x)$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.3.1.1.2

Divida $- \frac{5}{2}$ por $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.3.1.2

Multiplique por $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Etapa 8.3.1.3

Separe as frações.

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.3.1.4

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ em $\sec^{2} (x)$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \sec^{2} (x)$

Etapa 8.3.1.5

Divida $C$ por $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + C \sec^{2} (x)$