Cálculo Exemplos

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Reordene os termos.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.4

Fatore $y$ de $\frac{y}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2} + 1} y = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$e^{\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$e^{\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C$ .

$e^{\arctan (x) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\arctan (x)}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{\arctan (x)}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{\arctan (x)}$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} (\frac{1}{x^{2} + 1} y) = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x^{2} + 1}$ e $y$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} \frac{y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.2.2

Combine $e^{\arctan (x)}$ e $\frac{y}{x^{2} + 1}$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.3

Para escrever $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Fatore $e^{\arctan (x)}$ de $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y$ .

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Etapa 3.5.1.1

Fatore $e^{\arctan (x)}$ de $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.5.1.2

Fatore $e^{\arctan (x)}$ de $e^{\arctan (x)} y$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.5.1.3

Fatore $e^{\arctan (x)}$ de $e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.6

Combine $e^{\arctan (x)}$ e $\frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.7

Reordene os fatores em $\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] d x = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{\arctan (x)} y = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Deixe $u = \arctan (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$ , então, $(x^{2} + 1) d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1.1

Deixe $u = \arctan (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1.1

Diferencie $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Etapa 7.1.1.2

A derivada de $\arctan (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Etapa 7.1.1.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 7.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{\arctan (x)} y = \int e^{u} u d u$

Etapa 7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - \int e^{u} d u$

Etapa 7.3

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - (e^{u} + C)$

Etapa 7.4

Simplifique.

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - e^{u} + C$

Etapa 7.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\arctan (x)$ .

$e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ por $e^{\arctan (x)}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ por $e^{\arctan (x)}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{\arctan (x)}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{\arctan (x)}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Divida $\arctan (x)$ por $1$ .

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Etapa 8.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{\arctan (x)}$ .

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Etapa 8.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$y = \arctan (x) - 1 + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$