Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} d y}{d x} + x y = 1$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $\frac{d y}{d x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 1$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 1$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (y)}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (y)}{x \cdot x} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x \cdot x} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.5

Fatore $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.6

Reordene $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (x)}$

Etapa 2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{1}{x \cdot x}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{1}{x \cdot x}$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{1}{x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$x y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$x y = \ln (| x |) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $x y = \ln (| x |) + C$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida cada termo em $x y = \ln (| x |) + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{\ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$