Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x^{2}$

Etapa 1

Integre os dois lados com relação a $x$ .

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Etapa 1.1

A primeira derivada é igual à integral da segunda derivada com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2} d x$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{1}$

Etapa 2

Reescreva a equação.

$d y = (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} d x$

Etapa 3.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} x^{3} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.2

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int x^{3} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.4

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Etapa 3.3.5

Simplifique.

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Etapa 3.3.5.1

Simplifique.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.3.5.2

Simplifique.

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Etapa 3.3.5.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{3 \cdot 4} x^{4} + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.3.5.2.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{12} x^{4} + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = \frac{1}{12} x^{4} + C x + D$