Cálculo Exemplos

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 25 y = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial.

$y'' + 25 y = 0$

Etapa 2

Encontre $y'$ .

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Etapa 2.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A \sin (5 x) + B \cos (5 x))$

Etapa 2.2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 2.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Etapa 2.3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)]$ .

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Etapa 2.3.2.1

Como $A$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $A \sin (5 x)$ em relação a $x$ é $A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $5 x$ .

$A (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Etapa 2.3.2.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$A (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Etapa 2.3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x$ .

$A (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Etapa 2.3.2.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$A (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Etapa 2.3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$A (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Etapa 2.3.2.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$A (\cos (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Etapa 2.3.2.6

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 x)$ .

$A (5 \cdot \cos (5 x)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Etapa 2.3.2.7

Mova $5$ para a esquerda de $A$ .

$5 A \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Como $B$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $B \cos (5 x)$ em relação a $x$ é $B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$5 A \cos (5 x) + B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 2.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x$ .

$5 A \cos (5 x) + B (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 2.3.3.2.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 2.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 2.3.3.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))$

Etapa 2.3.3.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \cdot 5)$

Etapa 2.3.3.6

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- 5 \sin (5 x))$

Etapa 2.3.4

Reordene os termos.

$5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

Etapa 2.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

Etapa 3

Encontre $y''$ .

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Etapa 3.1

Determine a derivada.

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ .

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $5 A$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 A \cos (5 x)$ em relação a $x$ é $5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$y'' = 5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $5 x$ .

$y'' = 5 A (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$y'' = 5 A (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Etapa 3.3.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Etapa 3.3.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Etapa 3.3.6

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$y'' = 5 A (- 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Etapa 3.3.7

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 5 B$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 B \sin (5 x)$ em relação a $x$ é $- 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 3.4.2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 3.4.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Etapa 3.4.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \cdot 5)$

Etapa 3.4.6

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 x)$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (5 \cos (5 x))$

Etapa 3.4.7

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x)$

Etapa 4

Substitua na equação diferencial determinada.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 (A \sin (5 x) + B \cos (5 x)) = 0$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

Etapa 5.2

Combine os termos opostos em $- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x)$ .

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Etapa 5.2.1

Some $- 25 A \sin (5 x)$ e $25 A \sin (5 x)$ .

$- 25 B \cos (5 x) + 0 + 25 B \cos (5 x) = 0$

Etapa 5.2.2

Some $- 25 B \cos (5 x)$ e $0$ .

$- 25 B \cos (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

Etapa 5.2.3

Some $- 25 B \cos (5 x)$ e $25 B \cos (5 x)$ .

$0 = 0$

Etapa 6

A solução determinada satisfaz a equação diferencial fornecida.

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ é uma solução para $y'' + 25 y = 0$