Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 3 x^{2} y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} - 3 x^{2} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \cdot 1 - 3 x^{2} y$

Etapa 1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- 3 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 3 y)$

Etapa 1.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 3 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (1 - 3 y)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{1 - 3 y}$ .

$\frac{1}{1 - 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 3 y} (x^{2} (1 - 3 y))$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $1 - 3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $1 - 3 y$ de $x^{2} (1 - 3 y)$ .

$\frac{1}{1 - 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 3 y} ((1 - 3 y) x^{2})$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 - 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 3 y} ((1 - 3 y) x^{2})$

Etapa 1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 - 3 y} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{1 - 3 y} d y = x^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{1 - 3 y} d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = 1 - 3 y$ . Depois, $d u = - 3 d y$ , então, $- \frac{1}{3} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 1 - 3 y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $1 - 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 3 y]$

Etapa 2.2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 3 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3 y$ em relação a $y$ é $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$0 - 3$

Etapa 2.2.1.1.4

Subtraia $3$ de $0$ .

$- 3$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.2.3

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 3 y$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 1 - 3 y |) + C_{1} = \int x^{2} d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 1 - 3 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 1 - 3 y |) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 - 3 y |)) = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 - 3 y |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\ln (| 1 - 3 y |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 1 - 3 y |)}{3}) = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| 1 - 3 y |)}{3}$ para o numerador.

$- 3 \frac{- \ln (| 1 - 3 y |)}{3} = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 3 y |)}{3} = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 3 y |)}{3} = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- - \ln (| 1 - 3 y |) = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 3.2.1.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 3 y |) = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 3.2.1.1.3.2

Multiplique $\ln (| 1 - 3 y |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 - 3 y |) = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\ln (| 1 - 3 y |) = - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 - 3 y |) = - 3 \frac{x^{3}}{3} - 3 C$

Etapa 3.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\ln (| 1 - 3 y |) = 3 (- 1) \frac{x^{3}}{3} - 3 C$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| 1 - 3 y |) = 3 \cdot - 1 \frac{x^{3}}{3} - 3 C$

Etapa 3.2.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| 1 - 3 y |) = - x^{3} - 3 C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 1 - 3 y |)} = e^{- x^{3} - 3 C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (| 1 - 3 y |) = - x^{3} - 3 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{3} - 3 C} = | 1 - 3 y |$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $| 1 - 3 y | = e^{- x^{3} - 3 C}$ .

$| 1 - 3 y | = e^{- x^{3} - 3 C}$

Etapa 3.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 - 3 y = \pm e^{- x^{3} - 3 C}$

Etapa 3.5.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 3 y = \pm e^{- x^{3} - 3 C} - 1$

Etapa 3.5.4

Divida cada termo em $- 3 y = \pm e^{- x^{3} - 3 C} - 1$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Divida cada termo em $- 3 y = \pm e^{- x^{3} - 3 C} - 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C}}{- 3} + \frac{- 1}{- 3}$

Etapa 3.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C}}{- 3} + \frac{- 1}{- 3}$

Etapa 3.5.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C}}{- 3} + \frac{- 1}{- 3}$

Etapa 3.5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.1.1

Simplifique $\frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C}}{- 3}$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C}}{3} + \frac{- 1}{- 3}$

Etapa 3.5.4.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C}}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 3.5.4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C} + 1}{3}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\pm e^{- x^{3} + C} + 1}{3}$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{- x^{3} + C}$ como $e^{- x^{3}} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{3}} e^{C} + 1}{3}$

Etapa 4.3

Reordene $e^{- x^{3}}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{- x^{3}} + 1}{3}$

Etapa 4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \frac{C e^{- x^{3}} + 1}{3}$