Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$ e $y (e) = - 2$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $e$ por $x$ e $- 2$ por $y$ em $y = \ln (| x |) + C$ .

$- 2 = \ln (| e |) + C$

Etapa 4

Resolva $C$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\ln (| e |) + C = - 2$ .

$\ln (| e |) + C = - 2$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

$e$ é aproximadamente $2.71828182$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\ln (e) + C = - 2$

Etapa 4.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$1 + C = - 2$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$C = - 2 - 1$

Etapa 4.3.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$C = - 3$

Etapa 5

Substitua $- 3$ por $C$ em $y = \ln (| x |) + C$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- 3$ por $C$ .

$y = \ln (| x |) - 3$