Cálculo Exemplos

$y'''' + 2 y = 3 e^{t}$ with $y (0) = 3$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = 2$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 d t}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{2 t + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 t}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{2 t}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} (3 e^{t})$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} (3 e^{t})$

Etapa 2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{2 t} e^{t}$

Etapa 2.4

Multiplique $e^{2 t}$ por $e^{t}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.1

Mova $e^{t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 (e^{t} e^{2 t})$

Etapa 2.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{t + 2 t}$

Etapa 2.4.3

Some $t$ e $2 t$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{3 t}$

Etapa 2.5

Reordene os fatores em $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{3 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = 3 e^{3 t}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = 3 e^{3 t}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int 3 e^{3 t} d t$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{2 t} y = \int 3 e^{3 t} d t$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $3$ é constante com relação a $t$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{2 t} y = 3 \int e^{3 t} d t$

Etapa 6.2

Deixe $u = 3 t$ . Depois, $d u = 3 d t$ , então, $\frac{1}{3} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.2.1

Deixe $u = 3 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Diferencie $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Etapa 6.2.1.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 6.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 6.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 t} y = 3 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 6.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{2 t} y = 3 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Etapa 6.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{2 t} y = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Etapa 6.5

Simplifique.

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Etapa 6.5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$e^{2 t} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

Etapa 6.5.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.5.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{2 t} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

Etapa 6.5.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{2 t} y = 1 \int e^{u} d u$

Etapa 6.5.3

Multiplique $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} d u$

Etapa 6.6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = e^{u} + C$

Etapa 6.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 t$ .

$e^{2 t} y = e^{3 t} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{2 t} y = e^{3 t} + C$ por $e^{2 t}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{2 t} y = e^{3 t} + C$ por $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{2 t}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum de $e^{3 t}$ e $e^{2 t}$ .

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Etapa 7.3.1.1

Fatore $e^{2 t}$ de $e^{3 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Etapa 7.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Etapa 7.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{e^{t}}{1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Etapa 7.3.1.2.4

Divida $e^{t}$ por $1$ .

$y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Etapa 8

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $t$ e $3$ por $y$ em $y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$3 = e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

Etapa 9

Resolva $C$ .

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Etapa 9.1

Reescreva a equação como $e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$ .

$e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$

Etapa 9.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Etapa 9.2.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1 + \frac{C}{1} = 3$

Etapa 9.2.3

Divida $C$ por $1$ .

$1 + C = 3$

Etapa 9.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$C = 3 - 1$

Etapa 9.3.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$C = 2$

Etapa 10

Substitua $2$ por $C$ em $y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$ e simplifique.

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Etapa 10.1

Substitua $2$ por $C$ .

$y = e^{t} + \frac{2}{e^{2 t}}$