Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 \sin (3 x + 4)$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = 2 \sin (3 x + 4) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 2 \sin (3 x + 4) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 2 \sin (3 x + 4) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 2 \int \sin (3 x + 4) d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 3 x + 4$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 3 x + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $3 x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 2.3.2.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.2.1.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.3.3

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Etapa 2.3.5

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int \sin (u) d u$

Etapa 2.3.6

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (- \cos (u) + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (- \cos (u)) + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{2 \cos (u)}{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x + 4$ .

$y + C_{1} = - \frac{2 \cos (3 x + 4)}{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.9

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - \frac{2}{3} \cos (3 x + 4) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - \frac{2}{3} \cos (3 x + 4) + K$