Cálculo Exemplos

$(x - 2 y + 5) d x - (2 (x - 2 y) + 9) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x - 2 y + 5$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y + 5]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2 y + 5$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Etapa 1.2.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [5]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d y} [5]$

Etapa 1.4

Como $5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $5$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + 0$

Etapa 1.5

Combine os termos.

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Etapa 1.5.1

Subtraia $2$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $- 2$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (2 (x - 2 y) + 9)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 (x - 2 y) + 9)]$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x + 2 (- 2 y) + 9)]$

Etapa 2.2.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x - 4 y + 9)]$

Etapa 2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (2 x - 4 y + 9)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [2 x - 4 y + 9]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x - 4 y + 9]$

Etapa 2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 4 y + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 2.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 2.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 2.8

Como $- 4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + 0 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 2.9

Some $2$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 2.10

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + 0)$

Etapa 2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.11.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 2$

Etapa 2.11.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = - 2$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- 2 = - 2$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (2 (x - 2 y) + 9) d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = - (2 (x - 2 y) + 9)$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = - \int 2 (x - 2 y) + 9 d y$

Etapa 5.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = - (\int 2 (x - 2 y) d y + \int 9 d y)$

Etapa 5.3

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$f (x, y) = - (2 \int x - 2 y d y + \int 9 d y)$

Etapa 5.4

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = - (2 (\int x d y + \int - 2 y d y) + \int 9 d y)$

Etapa 5.5

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = - (2 (x y + C + \int - 2 y d y) + \int 9 d y)$

Etapa 5.6

Como $- 2$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$f (x, y) = - (2 (x y + C - 2 \int y d y) + \int 9 d y)$

Etapa 5.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 (x y + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)) + \int 9 d y)$

Etapa 5.8

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = - (2 (x y + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)) + 9 y + C)$

Etapa 5.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 (x y + C - 2 (\frac{y^{2}}{2} + C)) + 9 y + C)$

Etapa 5.10

Simplifique.

$f (x, y) = - (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - 2 y + 5$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + g (x)] = x - 2 y + 5$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y)]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [2 x y - 2 y^{2} + 9 y]$ .

$- \frac{d}{d x} [2 x y - 2 y^{2} + 9 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Etapa 8.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y - 2 y^{2} + 9 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Etapa 8.3.3

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Etapa 8.3.5

Como $- 2 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (2 y \cdot 1 + 0 + \frac{d}{d x} [9 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Etapa 8.3.6

Como $9 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (2 y \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Etapa 8.3.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$- (2 y + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Etapa 8.3.8

Some $2 y$ e $0$ .

$- (2 y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Etapa 8.3.9

Some $2 y$ e $0$ .

$- (2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Etapa 8.3.10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- 2 y + \frac{d g}{d x} = x - 2 y + 5$

Etapa 8.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = x - 2 y + 5$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Some $2 y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 5 + 2 y$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $x - 2 y + 5 + 2 y$ .

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Etapa 9.1.2.1

Some $- 2 y$ e $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0 + 5$

Etapa 9.1.2.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 5$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $x + 5$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x + 5$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x + 5 d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x + 5 d x$

Etapa 10.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int x d x + \int 5 d x$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 5 d x$

Etapa 10.5

Aplique a regra da constante.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + 5 x + C$

Etapa 10.6

Simplifique.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = - (2 x y) - (- 2 y^{2}) - (9 y) + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

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Etapa 12.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 (x y) - (- 2 y^{2}) - (9 y) + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

Etapa 12.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 (x y) + 2 y^{2} - (9 y) + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

Etapa 12.2.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 (x y) + 2 y^{2} - 9 y + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

Etapa 12.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x y + 2 y^{2} - 9 y + \frac{x^{2}}{2} + 5 x + C$