Cálculo Exemplos

$x + 2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - x$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - x$ por $2 y \sqrt{x^{2} + 1}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - x$ por $2 y \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1.1.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1.1.2.2.3

Cancele o fator comum de $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1.1.2.2.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Multiplique $\frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}})$

Etapa 1.1.2.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.3.1

Multiplique $\frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1.1.2.3.3.2

Mova $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y (\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

Etapa 1.1.2.3.3.3

Eleve $\sqrt{x^{2} + 1}$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

Etapa 1.1.2.3.3.4

Eleve $\sqrt{x^{2} + 1}$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1})}$

Etapa 1.1.2.3.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.1.2.3.3.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.3.7

Reescreva ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ como $x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.3.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.3.3.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.1.2.3.3.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.3.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.1.2.3.3.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Etapa 1.1.2.3.3.7.5

Simplifique.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y (x^{2} + 1)}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 1.4.2

Combine.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{2 (x^{2} + 1) y}$

Etapa 1.4.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.4.3.1

Fatore $y$ de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{2 (x^{2} + 1) y}$

Etapa 1.4.3.2

Fatore $y$ de $2 (x^{2} + 1) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (2 (x^{2} + 1))}$

Etapa 1.4.3.3

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (2 (x^{2} + 1))}$

Etapa 1.4.3.4

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{2 (x^{2} + 1)}$

Etapa 1.4.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$y d y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

Etapa 2.3.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 2.3.3

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.3.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2.3.3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.3.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.3.3.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{u}}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Etapa 2.3.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Etapa 2.3.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.6.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Etapa 2.3.6.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Etapa 2.3.6.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Etapa 2.3.6.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.3.1

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.6.3.2

Multiplique $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.3.2.1

Multiplique $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.3.2.1.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.6.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.6.3.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.6.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.6.3.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.6.4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.6.4.1

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3.6.4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.6.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.6.4.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 2.3.6.4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.1

Reescreva $- \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $- \frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{4}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8.2.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.2.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$