Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = y + 4 x - 2$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = y + 4 x - 2 - 2 x y$

Etapa 1.2

Fatore.

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Etapa 1.2.1

Reordene os termos.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + 4 x + y - 2$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{d y}{d x} = (- 2 x y + 4 x) + y - 2$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y + 2) - 1 (- y + 2)$

Etapa 1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 1 y + 2$ .

$\frac{d y}{d x} = (- 1 y + 2) (2 x - 1)$

Etapa 1.2.4

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = (- y + 2) (2 x - 1)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{- y + 2}$ .

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 2} ((- y + 2) (2 x - 1))$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $- y + 2$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 2} ((- y + 2) (2 x - 1))$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = 2 x - 1$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{- y + 2} d y = (2 x - 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{- y + 2} d y = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = - y + 2$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = - y + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.2.2

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y + 2$ .

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = x^{2} - x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y + 2 |)}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| - y + 2 |)}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $\ln (| - y + 2 |)$ por $1$ .

$\ln (| - y + 2 |) = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + \frac{x}{1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.4

Divida $x$ por $1$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.5

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - 1 \cdot C$

Etapa 3.1.3.1.6

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - C$

Etapa 3.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| - y + 2 |)} = e^{- x^{2} + x - C}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + x - C} = | - y + 2 |$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $| - y + 2 | = e^{- x^{2} + x - C}$ .

$| - y + 2 | = e^{- x^{2} + x - C}$

Etapa 3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$- y + 2 = \pm e^{- x^{2} + x - C}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.4.4.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.4.3.1

Para escrever $\frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.2

Para escrever $\frac{- 2}{- 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $1$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.4.4.3.3.1

Multiplique $\frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.3.3

Multiplique $\frac{- 2}{- 1}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{- - 1}$

Etapa 3.4.4.3.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.4.3.5.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $\pm e^{- x^{2} + x - C}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} + x - C}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5.2

Reescreva $- 1 (\pm e^{- x^{2} + x - C})$ como $- (\pm e^{- x^{2} + x - C})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2}{1}$

Etapa 3.4.4.3.6

Divida $- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2$ por $1$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x + C}) + 2$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{- x^{2} + x + C}$ como $e^{- x^{2} + x} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x} e^{C}) + 2$

Etapa 4.3

Reordene $e^{- x^{2} + x}$ e $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{- x^{2} + x}) + 2$

Etapa 4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = - (C e^{- x^{2} + x}) + 2$