Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{x^{2} - 2 y}{x} = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Reescreva a equação como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Divida a fração $\frac{x^{2} - 2 y}{x}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} - (\frac{x^{2}}{x} + \frac{- 2 y}{x}) = 0$

Etapa 1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x^{2}}{x} - \frac{- 2 y}{x} = 0$

Etapa 1.1.3

Some $\frac{x^{2}}{x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $- \frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 2}{x}) = \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 1.3

Reordene $y$ e $- \frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 2}{x} y = \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - \frac{- 2}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - \frac{- 2}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $- \frac{- 2}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{\int - - \frac{2}{x} d x}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{\int 1 \frac{2}{x} d x}$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $\frac{2}{x}$ por $1$ .

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{2}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{2}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (- \frac{- 2}{x} y) = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} (\frac{- 2}{x} y) = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} (- \frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 3.2.3

Combine $y$ e $\frac{2}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} (- \frac{y \cdot 2}{x}) = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y \cdot 2}{x}$ para o numerador.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{- y \cdot 2}{x} = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 3.2.4.2

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (- x) \frac{- y \cdot 2}{x} = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 3.2.4.3

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (- x) \frac{- y \cdot 2}{x} = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 3.2.4.4

Reescreva a expressão.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x (- y \cdot 2) = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 3.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x (- 2 y) = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 3.2.6

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x^{2}$

Etapa 3.4

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{1} x^{2}$

Etapa 3.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{1 + 2}$

Etapa 3.4.2

Some $1$ e $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{3}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{3}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{3} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$x^{2} y = \int x^{3} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $x^{2} y = \frac{1}{4} x^{4} + C$ por $x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $x^{2} y = \frac{1}{4} x^{4} + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x^{2}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{4} x^{2})}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{4} x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{4} x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{1}{4} x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.1.2.4

Divida $\frac{1}{4} x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{x^{2}}$