Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{4 d x} + \frac{3 y}{x} = x^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Fatore $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = x^{2}$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = x^{2}$

Etapa 1.3

Reordene $y$ e $\frac{3}{x}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = x^{2}$

Etapa 1.4

Multiplique cada termo em $\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = x^{2}$ por $4$ .

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} \cdot 4 + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.5

Combine $\frac{1}{4}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{4} \cdot 4 + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{4} \cdot 4 + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.7

Combine $\frac{3}{x}$ e $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.8

Combine $\frac{3 y}{x}$ e $4$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y \cdot 4}{x} = x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.9

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{12 y}{x} = x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.10

Reordene $x^{2}$ e $4$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{12 y}{x} = 4 \cdot x^{2}$

Etapa 1.11

Fatore $y$ de $\frac{12 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{12}{x} = 4 \cdot x^{2}$

Etapa 1.12

Reordene $y$ e $\frac{12}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{12}{x} y = 4 \cdot x^{2}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{12}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{12}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{12}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$e^{12 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{12 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$e^{12 \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{12 \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{12})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{12}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{12}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x^{12}$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x^{12} (\frac{12}{x} y) = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{12}{x}$ e $y$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x^{12} \frac{12 y}{x} = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{12}$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{11} \frac{12 y}{x} = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{11} \frac{12 y}{x} = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x^{11} (12 y) = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 x^{12} x^{2}$

Etapa 3.4

Multiplique $x^{12}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 (x^{2} x^{12})$

Etapa 3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 x^{2 + 12}$

Etapa 3.4.3

Some $2$ e $12$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 x^{14}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{12} y] = 4 x^{14}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{12} y] d x = \int 4 x^{14} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$x^{12} y = \int 4 x^{14} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$x^{12} y = 4 \int x^{14} d x$

Etapa 7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{14}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{15} x^{15}$ .

$x^{12} y = 4 (\frac{1}{15} x^{15} + C)$

Etapa 7.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.3.1

Reescreva $4 (\frac{1}{15} x^{15} + C)$ como $4 (\frac{1}{15}) x^{15} + C$ .

$x^{12} y = 4 (\frac{1}{15}) x^{15} + C$

Etapa 7.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{15}$ .

$x^{12} y = \frac{4}{15} x^{15} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $x^{12} y = \frac{4}{15} x^{15} + C$ por $x^{12}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $x^{12} y = \frac{4}{15} x^{15} + C$ por $x^{12}$ .

$\frac{x^{12} y}{x^{12}} = \frac{\frac{4}{15} x^{15}}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x^{12}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{12} y}{x^{12}} = \frac{\frac{4}{15} x^{15}}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{4}{15} x^{15}}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{15}$ e $x^{12}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Fatore $x^{12}$ de $\frac{4}{15} x^{15}$ .

$y = \frac{x^{12} (\frac{4}{15} x^{3})}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{x^{12} (\frac{4}{15} x^{3})}{x^{12} \cdot 1} + \frac{C}{x^{12}}$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{12} (\frac{4}{15} x^{3})}{x^{12} \cdot 1} + \frac{C}{x^{12}}$

Etapa 8.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{4}{15} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{12}}$

Etapa 8.3.1.1.2.4

Divida $\frac{4}{15} x^{3}$ por $1$ .

$y = \frac{4}{15} x^{3} + \frac{C}{x^{12}}$

Etapa 8.3.1.2

Combine $\frac{4}{15}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{4 x^{3}}{15} + \frac{C}{x^{12}}$