Cálculo Exemplos

$(1 - x^{2}) (1 - y) d x = x y (1 + y) d y$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$x y (1 + y) d y = (1 - x^{2}) (1 - y) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x (1 - y)}$ .

$\frac{1}{x (1 - y)} (x y (1 + y)) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x y (1 + y)$ .

$\frac{1}{x (1 - y)} (x (y (1 + y))) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x (1 - y)} (x (y (1 + y))) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 - y} (y (1 + y)) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

Etapa 3.2

Combine $y$ e $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{y}{1 - y} (1 + y) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{y}{1 - y}$ por $1 + y$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $1 - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $1 - y$ de $x (1 - y)$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{(1 - y) x} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

Etapa 3.4.2

Fatore $1 - y$ de $(1 - x^{2}) (1 - y)$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{(1 - y) x} ((1 - y) (1 - x^{2})) d x$

Etapa 3.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{(1 - y) x} ((1 - y) (1 - x^{2})) d x$

Etapa 3.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{x} (1 - x^{2}) d x$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1 - x^{2}$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1^{2} - x^{2}}{x} d x$

Etapa 3.6.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{y \cdot 1 + y \cdot y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Reordene $y$ e $1$ .

$\int \frac{1 \cdot y + y \cdot y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\int \frac{y + y \cdot y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int \frac{y + y^{1} y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.4

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int \frac{y + y^{1} y^{1}}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{y + y^{1 + 1}}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{y + y^{2}}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.7

Reordene $y$ e $y^{2}$ .

$\int \frac{y^{2} + y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.8

Reordene $1$ e $- y$ .

$\int \frac{y^{2} + y}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.9

Divida $y^{2} + y$ por $- y + 1$ .

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Etapa 4.2.9.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$1$

$y^{2}$

$y$

$0$

Etapa 4.2.9.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- y$ .

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$

Etapa 4.2.9.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				+	$y^{2}$	-	$y$

Etapa 4.2.9.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y^{2} - y$ .

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$

Etapa 4.2.9.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$

Etapa 4.2.9.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$

Etapa 4.2.9.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- y$ .

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$

Etapa 4.2.9.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$
						+	$2 y$	-	$2$

Etapa 4.2.9.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 y - 2$ .

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$
						-	$2 y$	+	$2$

Etapa 4.2.9.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$
						-	$2 y$	+	$2$
								+	$2$

Etapa 4.2.9.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int - y - 2 + \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.10

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - y d y + \int - 2 d y + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.11

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int y d y + \int - 2 d y + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 2 d y + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.13

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.14

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.15

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 \int \frac{1}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.16

Deixe $u = - y + 1$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.16.1

Deixe $u = - y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.16.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 4.2.16.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.2.16.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.18

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 (- \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.19

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.20

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3}) = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.21

Simplifique.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| u |) + C_{4} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.2.22

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y + 1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x} d x$

Etapa 4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x} d x$

Etapa 4.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Reordene $x$ e $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x)}{x} d x$

Etapa 4.3.4.2

Reordene $x$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x}{x} d x$

Etapa 4.3.4.3

Multiplique $1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Etapa 4.3.4.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Etapa 4.3.4.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Etapa 4.3.5

Fatore o negativo.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x} d x$

Etapa 4.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x)}{x} d x$

Etapa 4.3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x^{1})}{x} d x$

Etapa 4.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x} d x$

Etapa 4.3.9

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - x^{2}}{x} d x$

Etapa 4.3.10

Some $- x$ e $x$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 + 0 - x^{2}}{x} d x$

Etapa 4.3.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.11.1

Subtraia $x^{2}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

Etapa 4.3.11.2

Reordene $1$ e $- x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{- x^{2} + 1}{x} d x$

Etapa 4.3.12

Divida $- x^{2} + 1$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.12.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 4.3.12.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Etapa 4.3.12.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

Etapa 4.3.12.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} + 0$ .

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

Etapa 4.3.12.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Etapa 4.3.12.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Etapa 4.3.12.7

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.13

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.14

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.15

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.16

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \ln (| x |) + C_{6}$

Etapa 4.3.17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.17.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + \ln (| x |) + C_{6}$

Etapa 4.3.17.2

Simplifique.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{7}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$