Cálculo Exemplos

$2 x (x - 3 y) d y = - y (8 x - 9 y) d x$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $y (8 x - 9 y) d x$ aos dois lados da equação.

$2 x (x - 3 y) d y + y (8 x - 9 y) d x = 0$

Etapa 1.2

Reescreva.

$y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y (8 x - 9 y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (8 x - 9 y)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = 8 x - 9 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [8 x - 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x - 9 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.2

Como $8 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $8 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.4

Como $- 9$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 9 y$ em relação a $y$ é $- 9 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \frac{d}{d y} [y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \cdot 1) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 9 + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.6.2

Mova $- 9$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 \cdot y + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + (8 x - 9 y) \cdot 1$

Etapa 2.3.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.1

Multiplique $8 x - 9 y$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + 8 x - 9 y$

Etapa 2.3.8.2

Subtraia $9 y$ de $- 9 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 x - 18 y$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 x (x - 3 y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x (x - 3 y)]$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x (x - 3 y)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x - 3 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \frac{d}{d x} [x - 3 y] + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.3

Como $- 3 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + 0) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \cdot 1 + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \cdot 1)$

Etapa 3.4.6

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.1

Multiplique $x - 3 y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + x - 3 y)$

Etapa 3.4.6.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x - 3 y)$

Etapa 3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x) + 2 (- 3 y)$

Etapa 3.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 2 (- 3 y)$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x - 6 y$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $8 x - 18 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $4 x - 6 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $8 x - 18 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{8 x - 18 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $4 x - 6 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $2 x (x - 3 y)$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua $2 x (x - 3 y)$ por $N$ .

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum de $8 x - 18 y - (4 x - 6 y)$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Fatore $- 1$ de $8 x$ .

$\frac{- (- 8 x) - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $- 1$ de $- 18 y$ .

$\frac{- (- 8 x) - (18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- (- 8 x) - (18 y)$ .

$\frac{- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)$ .

$\frac{- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.2.5

Reescreva $- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ como $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ .

$\frac{- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.2.6

Fatore $2$ de $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.2.7

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.7.1

Fatore $2$ de $2 x (x - 3 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

Etapa 5.3.2.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

Etapa 5.3.2.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Some $- 4 x$ e $2 x$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 9 y - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.3.2

Subtraia $3 y$ de $9 y$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $2$ de $- 2 x + 6 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 1 (2 (- x) + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.3.3.2

Fatore $2$ de $6 y$ .

$\frac{- 1 (2 (- x) + 2 (3 y))}{x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.3.3.3

Fatore $2$ de $2 (- x) + 2 (3 y)$ .

$\frac{- 1 (2 (- x + 3 y))}{x (x - 3 y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $- x + 3 y$ e $x - 3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- 2 (- (x) + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.4.2

Fatore $- 1$ de $3 y$ .

$\frac{- 2 (- (x) - (- 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.4.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - (- 3 y)$ .

$\frac{- 2 (- (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.4.4

Reescreva $- (x - 3 y)$ como $- 1 (x - 3 y)$ .

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.4.5

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Etapa 5.3.4.6

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 \cdot (- 1)}{x}$

Etapa 5.3.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2}{x}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

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Etapa 6.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 6.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Etapa 6.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.1

Simplifique $2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Etapa 6.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Etapa 6.4.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$ pelo fator de integração $x^{2}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $y (8 x - 9 y)$ por $x^{2}$ .

$y (8 x - 9 y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(y (8 x) + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Etapa 7.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(8 y x + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Etapa 7.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(8 y x - 9 y \cdot y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Etapa 7.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Mova $y$ .

$(8 y x - 9 (y \cdot y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Etapa 7.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$(8 y x - 9 y^{2}) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Etapa 7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(8 y x \cdot x^{2} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Etapa 7.7

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.1

Mova $x^{2}$ .

$(8 y (x^{2} x) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Etapa 7.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(8 y (x^{2} x^{1}) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Etapa 7.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(8 y x^{2 + 1} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Etapa 7.7.3

Some $2$ e $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Etapa 7.8

Multiplique $2 x (x - 3 y)$ por $x^{2}$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) x^{2} d y = 0$

Etapa 7.9

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.9.1

Mova $x^{2}$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x) (x - 3 y) d y = 0$

Etapa 7.9.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.9.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x^{1}) (x - 3 y) d y = 0$

Etapa 7.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{2 + 1} (x - 3 y) d y = 0$

Etapa 7.9.3

Some $2$ e $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{3} (x - 3 y) d y = 0$

Etapa 7.10

Aplique a propriedade distributiva.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{3} x + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Etapa 7.11

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.11.1

Mova $x$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Etapa 7.11.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.11.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Etapa 7.11.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Etapa 7.11.3

Some $1$ e $3$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Etapa 7.12

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 \cdot - 3 x^{3} y) d y = 0$

Etapa 7.13

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} - 6 x^{3} y) d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2} d x$

Etapa 9

Integre $M (x, y) = 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Etapa 9.2

Como $8 y$ é constante com relação a $x$ , mova $8 y$ para fora da integral.

$f (x, y) = 8 y \int x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Etapa 9.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Etapa 9.4

Como $- 9 y^{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $- 9 y^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} \int x^{2} d x$

Etapa 9.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 9.6

Simplifique.

$f (x, y) = 8 \cdot \frac{1}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Etapa 9.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.1

Combine $8$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{8}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Etapa 9.7.2

Cancele o fator comum de $8$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Etapa 9.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Etapa 9.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Etapa 9.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{2}{1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Etapa 9.7.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Etapa 9.7.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} \frac{x^{3}}{3} + C$

Etapa 9.7.4

Combine $- 9$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} \frac{- 9 x^{3}}{3} + C$

Etapa 9.7.5

Combine $y^{2}$ e $\frac{- 9 x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 9 x^{3})}{3} + C$

Etapa 9.7.6

Cancele o fator comum de $- 9$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.6.1

Fatore $3$ de $y^{2} (- 9 x^{3})$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3} + C$

Etapa 9.7.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 (1)} + C$

Etapa 9.7.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 \cdot 1} + C$

Etapa 9.7.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 3 x^{3})}{1} + C$

Etapa 9.7.6.2.4

Divida $y^{2} (- 3 x^{3})$ por $1$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $2 x^{4}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y x^{4}$ em relação a $y$ é $2 x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Etapa 12.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Etapa 12.4

Avalie $\frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})]$ .

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Etapa 12.4.1

Como $- 3 x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y^{2} (- 3 x^{3})$ em relação a $y$ é $- 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Etapa 12.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Etapa 12.4.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Etapa 12.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Etapa 12.6

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{4} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 13.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 13.1.1

Subtraia $2 x^{4}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4}$

Etapa 13.1.2

Some $6 x^{3} y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$

Etapa 13.1.3

Combine os termos opostos em $2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$ .

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Etapa 13.1.3.1

Subtraia $2 x^{4}$ de $2 x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 0 + 6 x^{3} y$

Etapa 13.1.3.2

Some $- 6 x^{3} y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 6 x^{3} y$

Etapa 13.1.3.3

Some $- 6 x^{3} y$ e $6 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Etapa 14.3

A integral de $0$ com relação a $y$ é $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Etapa 14.4

Some $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Etapa 15

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

Etapa 16

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 3 y^{2} x^{3} + C$