Cálculo Exemplos

$y \frac{d y}{d x} = x e^{- y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (x e^{- y^{2}})$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $e^{- y^{2}}$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $e^{- y^{2}}$ de $x e^{- y^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = x$

Etapa 1.3

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y \frac{d y}{d x} = x$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = \int x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Combine frações.

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Etapa 2.2.1.1

Combine $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ e $y$ .

$\int \frac{y}{e^{- y^{2}}} d y = \int x d x$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.2.1

Negative o expoente de $e^{- y^{2}}$ e o mova para fora do denominador.

$\int y {(e^{- y^{2}})}^{- 1} d y = \int x d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{- y^{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{- y^{2} \cdot - 1} d y = \int x d x$

Etapa 2.2.1.2.2.2

Multiplique $- y^{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 2.2.1.2.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int y e^{1 y^{2}} d y = \int x d x$

Etapa 2.2.1.2.2.2.2

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\int y e^{y^{2}} d y = \int x d x$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = y^{2}$ . Depois, $d u = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = y^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 y$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Etapa 2.2.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x d x$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int x d x$

Etapa 2.2.5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{y^{2}}$ .

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$e^{y^{2}} = x^{2} + 2 K$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y^{2}}) = \ln (x^{2} + 2 K)$

Etapa 3.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Expanda $\ln (e^{y^{2}})$ movendo $y^{2}$ para fora do logaritmo.

$y^{2} \ln (e) = \ln (x^{2} + 2 K)$

Etapa 3.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y^{2} \cdot 1 = \ln (x^{2} + 2 K)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \ln (x^{2} + 2 K)$

Etapa 3.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$