Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{y (1 - x^{3})}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{1 - x^{3}} \cdot \frac{1}{y}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{1 - x^{3}} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{1^{3} - x^{3}} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 1.3.1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 1.3.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 1.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 1.3.2

Combine.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} \cdot 1}{(1 - x) (1 + x + x^{2}) y}$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Fatore $y$ de $(1 - x) (1 + x + x^{2}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} \cdot 1}{y ((1 - x) (1 + x + x^{2}))}$

Etapa 1.3.3.2

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} \cdot 1}{y ((1 - x) (1 + x + x^{2}))}$

Etapa 1.3.3.3

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} \cdot 1}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 1.3.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$y d y = \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = (1 - x) (1 + x + x^{2})$ . Depois, $d u = - 3 x^{2} d x$ , então, $- \frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = (1 - x) (1 + x + x^{2})$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 + x + x^{2})]$

Etapa 2.3.2.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 1 - x$ e $g (x) = 1 + x + x^{2}$ .

$(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x + x^{2}] + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.2.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 - x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 2.3.2.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 - x) (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 2.3.2.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 2.3.2.1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.3.2.1.3.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.3.2.1.3.8

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.2.1.3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.2.1.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (- 1 \cdot 1)$

Etapa 2.3.2.1.3.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.3.11.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) \cdot - 1$

Etapa 2.3.2.1.3.11.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $1 + x + x^{2}$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) - 1 \cdot (1 + x + x^{2})$

Etapa 2.3.2.1.3.11.3

Reescreva $- 1 (1 + x + x^{2})$ como $- (1 + x + x^{2})$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) - (1 + x + x^{2})$

Etapa 2.3.2.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 - x) (1 + 2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 - x) \cdot 1 + (1 - x) (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 - x \cdot 1 + (1 - x) (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 - x \cdot 1 + 1 (2 x) - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.4.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.4.5.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 - x \cdot 1 + 1 (2 x) - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.4.5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 - x + 1 (2 x) - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.4.5.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$1 - x + 2 x - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.4.5.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$1 - x + 2 x - 2 x \cdot x - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.4.5.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$1 - x + 2 x - 2 (x^{1} x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.4.5.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$1 - x + 2 x - 2 (x^{1} x^{1}) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.4.5.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 - x + 2 x - 2 x^{1 + 1} - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.4.5.8

Some $1$ e $1$ .

$1 - x + 2 x - 2 x^{2} - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.4.5.9

Some $- x$ e $2 x$ .

$1 + x - 2 x^{2} - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.4.5.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 + x - 2 x^{2} - 1 - x - x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.4.5.11

Subtraia $1$ de $1$ .

$x - 2 x^{2} + 0 - x - x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.4.5.12

Some $x - 2 x^{2}$ e $0$ .

$x - 2 x^{2} - x - x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.4.5.13

Subtraia $x$ de $x$ .

$- 2 x^{2} + 0 - x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.4.5.14

Some $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$- 2 x^{2} - x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.4.5.15

Subtraia $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2}$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Etapa 2.3.3.3

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{3 u} d u$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (- \int \frac{1}{3 u} d u)$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{3 u} d u$

Etapa 2.3.6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.7.2

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.7.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Expanda $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 x + 1 x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.2.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + 1 x + 1 x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + 1 x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.2.5.1

Mova $x$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - (x \cdot x) - x \cdot x^{2} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x \cdot x^{2} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.6

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.2.6.1

Mova $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - (x^{2} x) |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.6.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.2.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - (x^{2} x^{1}) |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x^{2 + 1} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.6.3

Some $2$ e $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x^{3} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Combine os termos opostos em $1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.3.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} - x^{3} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.3.2

Some $1 + x^{2}$ e $0$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} - x^{2} - x^{3} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.3.3

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + 0 - x^{3} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.3.4

Some $1$ e $0$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 - x^{3} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.2

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 - x^{3} |)) + 2 C$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} = - 2 \ln (| 1 - x^{3} |) + 2 C$

Etapa 3.3

Simplifique $- 2 \ln (| 1 - x^{3} |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$y^{2} = - \ln ({| 1 - x^{3} |}^{2}) + 2 C$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| 1 - x^{3} |}^{2}) + 2 C}$

Etapa 3.5

Remova o valor absoluto em ${| 1 - x^{3} |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + C}$