Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2} e^{y + 2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y + 2}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $e^{y + 2}$ .

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} (\frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y + 2}})$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Combine.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} \frac{10 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2} e^{y + 2}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $e^{y + 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Fatore $e^{y + 2}$ de ${(2 x - 1)}^{2} e^{y + 2}$ .

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} \frac{10 \cdot 1}{e^{y + 2} {(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} \frac{10 \cdot 1}{e^{y + 2} {(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{10 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$e^{y + 2} d y = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int e^{y + 2} d y = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = y + 2$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = y + 2$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y + 2$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $10$ é constante com relação a $x$ , mova $10$ para fora da integral.

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{2} = 2 x - 1$ . Depois, $d u_{2} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{2} = 2 x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.3.2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.2.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de ${u_{2}}^{2}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $10$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{10}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.2

Cancele o fator comum de $10$ e $2$ .

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Etapa 2.3.5.1.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.5.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{5}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.2.2.4

Divida $5$ por $1$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.5.2.1

Mova ${u_{2}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.5.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- 2}$ com relação a $u_{2}$ é $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Reescreva $5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ como $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.2.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2

Combine $- 5$ e $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{y + 2} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x - 1$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = - \frac{5}{2 x - 1} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$e^{y + 2} = - \frac{5}{2 x - 1} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y + 2}) = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

Etapa 3.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Expanda $\ln (e^{y + 2})$ movendo $y + 2$ para fora do logaritmo.

$(y + 2) \ln (e) = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

Etapa 3.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(y + 2) \cdot 1 = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

Etapa 3.2.3

Multiplique $y + 2$ por $1$ .

$y + 2 = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique $\ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Divida a fração $\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1}$ em duas frações.

$y + 2 = \ln (\frac{- 5 + 2 K x}{2 x - 1} + \frac{- K}{2 x - 1})$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.2.1

Divida a fração $\frac{- 5 + 2 K x}{2 x - 1}$ em duas frações.

$y + 2 = \ln (\frac{- 5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} + \frac{- K}{2 x - 1})$

Etapa 3.3.1.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + 2 = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} + \frac{- K}{2 x - 1})$

Etapa 3.3.1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + 2 = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} - \frac{K}{2 x - 1})$

Etapa 3.4

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} - \frac{K}{2 x - 1}) - 2$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{K x}{2 x - 1} - \frac{K}{2 x - 1}) - 2$