Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = {(15 x^{2} - 6)}^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = {(15 x^{2} - 6)}^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int {(15 x^{2} - 6)}^{2} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int {(15 x^{2} - 6)}^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Expanda ${(15 x^{2} - 6)}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva ${(15 x^{2} - 6)}^{2}$ como $(15 x^{2} - 6) (15 x^{2} - 6)$ .

$y + C_{1} = \int (15 x^{2} - 6) (15 x^{2} - 6) d x$

Etapa 2.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \int 15 x^{2} (15 x^{2} - 6) - 6 (15 x^{2} - 6) d x$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \int 15 x^{2} (15 x^{2}) + 15 x^{2} \cdot - 6 - 6 (15 x^{2} - 6) d x$

Etapa 2.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \int 15 x^{2} (15 x^{2}) + 15 x^{2} \cdot - 6 - 6 (15 x^{2}) - 6 \cdot - 6 d x$

Etapa 2.3.1.5

Mova $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int 15 \cdot 15 x^{2} x^{2} + 15 x^{2} \cdot - 6 - 6 (15 x^{2}) - 6 \cdot - 6 d x$

Etapa 2.3.1.6

Mova $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int 15 \cdot 15 x^{2} x^{2} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 (15 x^{2}) - 6 \cdot - 6 d x$

Etapa 2.3.1.7

Multiplique $15$ por $15$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{2} x^{2} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Etapa 2.3.1.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \int 225 x^{2 + 2} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Etapa 2.3.1.9

Some $2$ e $2$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Etapa 2.3.1.10

Multiplique $15$ por $- 6$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 90 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Etapa 2.3.1.11

Multiplique $- 6$ por $15$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 90 x^{2} - 90 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Etapa 2.3.1.12

Multiplique $- 6$ por $- 6$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 90 x^{2} - 90 x^{2} + 36 d x$

Etapa 2.3.1.13

Subtraia $90 x^{2}$ de $- 90 x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 180 x^{2} + 36 d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} d x + \int - 180 x^{2} d x + \int 36 d x$

Etapa 2.3.3

Como $225$ é constante com relação a $x$ , mova $225$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 225 \int x^{4} d x + \int - 180 x^{2} d x + \int 36 d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 180 x^{2} d x + \int 36 d x$

Etapa 2.3.5

Como $- 180$ é constante com relação a $x$ , mova $- 180$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 180 \int x^{2} d x + \int 36 d x$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 180 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 36 d x$

Etapa 2.3.7

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 180 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 36 x + C_{4}$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

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Etapa 2.3.8.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.8.1.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$y + C_{1} = 225 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 180 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 36 x + C_{4}$

Etapa 2.3.8.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 225 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 180 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + 36 x + C_{4}$

Etapa 2.3.8.2

Simplifique.

$y + C_{1} = 45 x^{5} - 60 x^{3} + 36 x + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = 45 x^{5} - 60 x^{3} + 36 x + K$