Cálculo Exemplos

$(2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y d x + (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [(2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ e $g (y) = y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2

Multiplique $2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{d}{d y} [2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 1.3.4

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (0 + \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 1.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.6

Como $2 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ em relação a $y$ é $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 1.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 1.10

Combine $2$ e $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (x^{2} \frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 1.11

Combine $x^{2}$ e $\frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{x^{2} (2 y^{- \frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 1.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.12.1

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{2 \cdot x^{2} y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.12.2

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{2 x^{2}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13

Cancele o fator comum.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{2 x^{2}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.14

Reescreva a expressão.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15

Combine $y$ e $\frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + \frac{y x^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y x^{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 1.17

Multiplique $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.17.1

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2}} y x^{2}$

Etapa 1.17.2

Multiplique $y^{- \frac{1}{2}}$ por $y$ .

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Etapa 1.17.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2}} y^{1} x^{2}$

Etapa 1.17.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2} + 1} x^{2}$

Etapa 1.17.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{2}$

Etapa 1.17.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{2}$

Etapa 1.17.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Etapa 1.18

Some $2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ e $y^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

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Etapa 1.18.1

Reordene $y^{\frac{1}{2}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.18.2

Some $2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ e $x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.19

Simplifique.

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Etapa 1.19.1

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{\frac{1}{2}} x^{2} + 2$

Etapa 1.19.2

Reordene os fatores em $3 y^{\frac{1}{2}} x^{2} + 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ e $g (x) = x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2]$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2]$

Etapa 2.3.2

Multiplique $x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x \frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2]$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.3.4

Como $y^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (y^{\frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (2 \cdot y^{\frac{1}{2}} x + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.3.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (2 y^{\frac{1}{2}} x + 0)$

Etapa 2.3.8

Some $2 y^{\frac{1}{2}} x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (2 y^{\frac{1}{2}} x)$

Etapa 2.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{1} x (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{1} x^{1} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{1 + 1} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.7.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{2} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.7.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + 2 \cdot x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.8

Some $x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ e $2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Como $y$ é constante com relação a $x$ , mova $y$ para fora da integral.

$f (x, y) = y \int 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = y (\int 2 d x + \int 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} d x)$

Etapa 5.3

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = y (2 x + C + \int 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} d x)$

Etapa 5.4

Como $2 y^{\frac{1}{2}}$ é constante com relação a $x$ , mova $2 y^{\frac{1}{2}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = y (2 x + C + 2 y^{\frac{1}{2}} \int x^{2} d x)$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = y (2 x + C + 2 y^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

Etapa 5.6

Simplifique.

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) + C$

Etapa 5.7

Reordene os termos.

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3})]$ .

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Etapa 8.3.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3} x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.2

Combine $\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = 2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ .

$y \frac{d}{d y} [2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}] + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}]$ .

$y (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}]) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.5

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$y (0 + \frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}]) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.6

Como $\frac{2 x^{3}}{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ em relação a $y$ é $\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.12.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.12.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.14

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} \cdot \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.15

Multiplique $\frac{2 x^{3}}{3}$ por $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3} y^{- \frac{1}{2}}}{3 \cdot 2}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.16

Multiplique $3$ por $2$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3} y^{- \frac{1}{2}}}{6}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.17

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{6 y^{\frac{1}{2}}}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.18

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$y (0 + \frac{2 (x^{3})}{6 y^{\frac{1}{2}}}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.19

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.19.1

Fatore $2$ de $6 y^{\frac{1}{2}}$ .

$y (0 + \frac{2 (x^{3})}{2 (3 y^{\frac{1}{2}})}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.19.2

Cancele o fator comum.

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{2 (3 y^{\frac{1}{2}})}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.19.3

Reescreva a expressão.

$y (0 + \frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.20

Some $0$ e $\frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$y \frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.21

Combine $y$ e $\frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.22

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{y x^{3} y^{- \frac{1}{2}}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.23

Multiplique $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.23.1

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.23.2

Multiplique $y^{- \frac{1}{2}}$ por $y$ .

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Etapa 8.3.23.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y^{1} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.23.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y^{- \frac{1}{2} + 1} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.23.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.23.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.23.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.24

Multiplique $2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ por $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + 2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x + \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{3} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.26

Some $y^{\frac{1}{2}} x^{3}$ e $2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}$ .

$2 x + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.27

Cancele o fator comum.

$2 x + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.3.28

Divida $y^{\frac{1}{2}} x^{3}$ por $1$ .

$2 x + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + \frac{d g}{d y} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + 2 x = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 8.5.2

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d y} + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + 2 x$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Simplifique $\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$ .

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Etapa 9.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x + (- (x^{2} y^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 2) x = 0$

Etapa 9.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x + (- x^{2} y^{\frac{1}{2}} - 2) x = 0$

Etapa 9.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{2} y^{\frac{1}{2}} x - 2 x = 0$

Etapa 9.1.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 9.1.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - (x \cdot x^{2}) y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

Etapa 9.1.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 9.1.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - (x^{1} x^{2}) y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

Etapa 9.1.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{1 + 2} y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

Etapa 9.1.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{3} y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{3} y^{\frac{1}{2}} - 2 x$ .

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ de $x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x + 0 - 2 x = 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $\frac{d g}{d y} + 2 x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x - 2 x = 0$

Etapa 9.1.2.3

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Etapa 9.1.2.4

Some $\frac{d g}{d y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Etapa 10.3

A integral de $0$ com relação a $y$ é $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Etapa 10.4

Some $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)$ .

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + C$

Etapa 12

Simplifique $f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $y^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3} x^{3}) + C$

Etapa 12.1.1.2

Combine $\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) + C$

Etapa 12.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = y (2 x) + y \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

Etapa 12.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x, y) = 2 y x + y \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

Etapa 12.1.4

Multiplique $y \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ .

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Etapa 12.1.4.1

Combine $y$ e $\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x + \frac{y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{3})}{3} + C$

Etapa 12.1.4.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 (y^{1} y^{\frac{1}{2}}) x^{3}}{3} + C$

Etapa 12.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{1 + \frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

Etapa 12.1.4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

Etapa 12.1.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{2 + 1}{2}} x^{3}}{3} + C$

Etapa 12.1.4.6

Some $2$ e $1$ .

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{3}{2}} x^{3}}{3} + C$

Etapa 12.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{3}{2}} x^{3}}{3} + C$ .

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 x^{3} y^{\frac{3}{2}}}{3} + C$