Cálculo Exemplos

$y' \ln (| y |) = e^{x}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial.

$\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$

Etapa 2

Separe as variáveis.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$ por $\ln (| y |)$ e simplifique.

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Etapa 2.1.1

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$ por $\ln (| y |)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (| y |)$ .

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Etapa 2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Etapa 2.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Etapa 2.2

Multiplique os dois lados por $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = \ln (| y |) \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $\ln (| y |)$ .

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = \ln (| y |) \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Etapa 2.3.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = e^{x}$

Etapa 2.4

Reescreva a equação.

$\ln (| y |) d y = e^{x} d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \ln (| y |) d y = \int e^{x} d x$

Etapa 3.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (| y |)$ e $d v = 1$ .

$\ln (| y |) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int e^{x} d x$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Combine $y$ e $\frac{1}{y}$ .

$\ln (| y |) y - \int \frac{y}{y} d y = \int e^{x} d x$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) y - \int \frac{y}{y} d y = \int e^{x} d x$

Etapa 3.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) y - \int d y = \int e^{x} d x$

Etapa 3.2.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) y - (y + C_{1}) = \int e^{x} d x$

Etapa 3.2.4

Simplifique.

$\ln (| y |) y - y + C_{1} = \int e^{x} d x$

Etapa 3.2.5

Reordene os termos.

$y \ln (| y |) - y + C_{1} = \int e^{x} d x$

Etapa 3.3

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$y \ln (| y |) - y + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y \ln (| y |) - y = e^{x} + C$