Cálculo Exemplos

$(\frac{x}{y}) d y + (1 + \ln (y)) d x = 0$

Etapa 1

Subtraia $(1 + \ln (y)) d x$ dos dois lados da equação.

$\frac{x}{y} d y = - (1 + \ln (y)) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + \ln (y)} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{1 + \ln (y)}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{(1 + \ln (y)) y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Etapa 3.3

Reordene os fatores em $\frac{1}{(1 + \ln (y)) y}$ .

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Etapa 3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $1 + \ln (y)$ .

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Etapa 3.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ para o numerador.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

Etapa 3.5.2

Fatore $1 + \ln (y)$ de $x (1 + \ln (y))$ .

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

Etapa 3.5.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

Etapa 3.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Deixe $u_{1} = \ln (y)$ . Depois, $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ , então, $y d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Deixe $u_{1} = \ln (y)$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Etapa 4.2.1.1.2

A derivada de $\ln (y)$ em relação a $y$ é $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.2

Deixe $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Deixe $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Diferencie $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Etapa 4.2.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + u_{1}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 4.2.2.1.3

Como $1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $1$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 4.2.2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 4.2.2.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.3

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.4

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 4.2.4.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + u_{1}$ .

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.4.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (y)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) | | x |) = C$

Etapa 5.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| (1 + \ln (y)) x |) = C$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 x + \ln (y) x |) = C$

Etapa 5.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\ln (| x + \ln (y) x |) = C$

Etapa 5.5.2

Reordene os fatores em $\ln (| x + \ln (y) x |)$ .

$\ln (| x + x \ln (y) |) = C$

Etapa 5.6

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| x + x \ln (y) |)} = e^{C}$

Etapa 5.7

Reescreva $\ln (| x + x \ln (y) |) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | x + x \ln (y) |$

Etapa 5.8

Resolva $y$ .

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Etapa 5.8.1

Reescreva a equação como $| x + x \ln (y) | = e^{C}$ .

$| x + x \ln (y) | = e^{C}$

Etapa 5.8.2

Resolva $y$ .

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Etapa 5.8.2.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x + x \ln (y) = \pm e^{C}$

Etapa 5.8.2.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x \ln (y) = \pm e^{C} - x$

Etapa 5.8.2.3

Divida cada termo em $x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 5.8.2.3.1

Divida cada termo em $x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ por $x$ .

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Etapa 5.8.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.8.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.8.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Etapa 5.8.2.3.2.1.2

Divida $\ln (y)$ por $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Etapa 5.8.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.2.3.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.2.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Etapa 5.8.2.3.3.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

Etapa 5.8.2.4

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y)} = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

Etapa 5.8.2.5

Reescreva $\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1} = y$

Etapa 5.8.2.6

Reescreva a equação como $y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ .

$y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = e^{\frac{C}{x} - 1}$