Cálculo Exemplos

$(2 x y + 3 y^{2}) d x = (2 x y + x^{2}) d y$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $(2 x y + x^{2}) d y$ dos dois lados da equação.

$(2 x y + 3 y^{2}) d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x y + 3 y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + 3 y^{2}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y + 3 y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y^{2}$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 (2 y)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 6 y$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (2 x y + x^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x y + x^{2})]$

Etapa 3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (2 x y + x^{2})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2}]$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.4

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + 2 x)$

Etapa 3.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y) - (2 x)$

Etapa 3.8.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - (2 x)$

Etapa 3.8.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - 2 x$

Etapa 3.8.3

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - 2 y$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $2 x + 6 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x - 2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 6 y = - 2 x - 2 y$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 x + 6 y = - 2 x - 2 y$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $2 x + 6 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x + 6 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $- 2 x - 2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x - 2 y)}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $- (2 x y + x^{2})$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua $- (2 x y + x^{2})$ por $N$ .

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x - 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x) - (- 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 6 y + 2 x - (- 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Etapa 5.3.2.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 6 y + 2 x + 2 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Etapa 5.3.2.4

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{4 x + 6 y + 2 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Etapa 5.3.2.5

Some $6 y$ e $2 y$ .

$\frac{4 x + 8 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Etapa 5.3.2.6

Fatore $4$ de $4 x + 8 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.6.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\frac{4 (x) + 8 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Etapa 5.3.2.6.2

Fatore $4$ de $8 y$ .

$\frac{4 (x) + 4 (2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Etapa 5.3.2.6.3

Fatore $4$ de $4 (x) + 4 (2 y)$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Etapa 5.3.3

Fatore $x$ de $2 x y + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Fatore $x$ de $2 x y$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y) + x^{2})}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y) + x \cdot x)}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $x$ de $x (2 y) + x \cdot x$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y + x))}$

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (2 y + x)}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $x + 2 y$ e $2 y + x$ .

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Etapa 5.3.4.1

Reordene os termos.

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{- x}$

Etapa 5.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{x}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Etapa 6.2

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 6.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 6.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Etapa 6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.6.1

Simplifique $- 4 \ln (| x |)$ movendo $- 4$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Etapa 6.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Etapa 6.6.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{- 4}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Etapa 6.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $(2 x y + 3 y^{2}) d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{4}}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $2 x y + 3 y^{2}$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(2 x y + 3 y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Etapa 7.2

Multiplique $2 x y + 3 y^{2}$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Etapa 7.3

Fatore $y$ de $2 x y + 3 y^{2}$ .

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Etapa 7.3.1

Fatore $y$ de $2 x y$ .

$\frac{y (2 x) + 3 y^{2}}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Etapa 7.3.2

Fatore $y$ de $3 y^{2}$ .

$\frac{y (2 x) + y (3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Etapa 7.3.3

Fatore $y$ de $y (2 x) + y (3 y)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Etapa 7.4

Multiplique $- (2 x y + x^{2})$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Etapa 7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + (- (2 x y) - x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Etapa 7.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + (- 2 (x y) - x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Etapa 7.7

Multiplique $- 2 x y - x^{2}$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 2 x y - x^{2}}{x^{4}} d y = 0$

Etapa 7.8

Fatore $x$ de $- 2 x y - x^{2}$ .

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Etapa 7.8.1

Fatore $x$ de $- 2 x y$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y) - x^{2}}{x^{4}} d y = 0$

Etapa 7.8.2

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y) + x (- x)}{x^{4}} d y = 0$

Etapa 7.8.3

Fatore $x$ de $x (- 2 y) + x (- x)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x^{4}} d y = 0$

Etapa 7.9

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.9.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Etapa 7.9.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Etapa 7.9.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 2 y - x}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 7.10

Fatore $- 1$ de $- 2 y$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y) - x}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 7.11

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y) - (x)}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 7.12

Fatore $- 1$ de $- (2 y) - (x)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y + x)}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 7.13

Reescreva $- (2 y + x)$ como $- 1 (2 y + x)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 1 (2 y + x)}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 7.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - \frac{2 y + x}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{2 y + x}{x^{3}} d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = - \frac{2 y + x}{x^{3}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = - \int \frac{2 y + x}{x^{3}} d y$

Etapa 9.2

Como $\frac{1}{x^{3}}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{x^{3}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = - (\frac{1}{x^{3}} \int 2 y + x d y)$

Etapa 9.3

Remova os parênteses.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} \int 2 y + x d y$

Etapa 9.4

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (\int 2 y d y + \int x d y)$

Etapa 9.5

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 \int y d y + \int x d y)$

Etapa 9.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x d y)$

Etapa 9.7

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x y + C)$

Etapa 9.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{y^{2}}{2} + C) + x y + C)$

Etapa 9.9

Simplifique.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ e $g (x) = y^{2} + x y$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [y^{2} + x y] + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.4

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + \frac{d}{d x} [x y]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.5

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \frac{d}{d x} [x]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.7

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 12.3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.10

Multiplique $y$ por $1$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.11

Some $0$ e $y$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} y + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.12

Combine $\frac{1}{x^{3}}$ e $y$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.13

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.13.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.13.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- x^{- 6} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.14

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 6} x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.15

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.15.1

Mova $x^{2}$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 (x^{2} x^{- 6}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.15.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{2 - 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.15.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.16

Para escrever $(y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + \frac{(y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4}) x^{3}}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4}) x^{3}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.18

Multiplique $x^{- 4}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.18.1

Mova $x^{3}$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 (x^{3} x^{- 4}))}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.18.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{3 - 4})}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.18.3

Subtraia $4$ de $3$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 1})}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 1})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5

Simplifique.

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Etapa 12.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{y + y^{2} (- 3 \frac{1}{x}) + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3

Combine os termos.

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Etapa 12.5.3.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{y + y^{2} \frac{- 3}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{y + y^{2} (- \frac{3}{x}) + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.3

Combine $y^{2}$ e $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{y^{2} \cdot 3}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.4

Mova $3$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$- \frac{y - \frac{3 \cdot y^{2}}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.5

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + x y \frac{- 3}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + x y (- \frac{3}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.7

Combine $x$ e $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + y (- \frac{x \cdot 3}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.8

Combine $y$ e $\frac{x \cdot 3}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{y (x \cdot 3)}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.9

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{y (3 \cdot x)}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.10

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{3 \cdot y x}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.11

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 12.5.3.11.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{3 y x}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.11.2

Divida $3 y$ por $1$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - (3 y)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.12

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - 3 y}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.13

Subtraia $3 y$ de $y$ .

$- \frac{- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.14

Para escrever $\frac{d g}{d x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- (- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}) + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.4

Reordene os termos.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} - (- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x})}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.5.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} - (- 2 y) - - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.5.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y - - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.5.3

Multiplique $- - \frac{3 y^{2}}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.5.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y + 1 \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.5.3.2

Multiplique $\frac{3 y^{2}}{x}$ por $1$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y + \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.5.4

Para escrever $x^{3} \frac{d g}{d x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 y + \frac{x^{3} \frac{d g}{d x} x}{x} + \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 y + \frac{x^{3} \frac{d g}{d x} x + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.5.6

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.5.6.1

Mova $x$ .

$\frac{2 y + \frac{x \cdot x^{3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.5.6.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.5.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 y + \frac{x^{1} x^{3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.5.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 y + \frac{x^{1 + 3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.5.6.3

Some $1$ e $3$ .

$\frac{2 y + \frac{x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.5.7

Para escrever $2 y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 y x}{x} + \frac{x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.5.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.7

Multiplique $\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}}$ .

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Etapa 12.5.7.1

Multiplique $\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x \cdot x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.7.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.7.2.1

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.7.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{1} x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.7.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{1 + 3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.7.2.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{4}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x + 3 y)$

Etapa 13.1.2

Simplifique $y (2 x + 3 y)$ .

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Etapa 13.1.2.1

Reescreva.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 0 + 0 + y (2 x + 3 y)$

Etapa 13.1.2.2

Simplifique somando os zeros.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x + 3 y)$

Etapa 13.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x) + y (3 y)$

Etapa 13.1.2.4

Reordene.

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Etapa 13.1.2.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + y (3 y)$

Etapa 13.1.2.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y \cdot y$

Etapa 13.1.2.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.2.5.1

Mova $y$ .

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 (y \cdot y)$

Etapa 13.1.2.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y^{2}$

Etapa 13.1.3

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 13.1.3.1

Subtraia $2 y x$ dos dois lados da equação.

$x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y^{2} - 2 y x$

Etapa 13.1.3.2

Subtraia $3 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 2 y x + 3 y^{2} - 2 y x - 3 y^{2}$

Etapa 13.1.3.3

Combine os termos opostos em $2 y x + 3 y^{2} - 2 y x - 3 y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.3.1

Subtraia $2 y x$ de $2 y x$ .

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 3 y^{2} + 0 - 3 y^{2}$

Etapa 13.1.3.3.2

Some $3 y^{2}$ e $0$ .

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 3 y^{2} - 3 y^{2}$

Etapa 13.1.3.3.3

Subtraia $3 y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 13.1.4

Divida cada termo em $x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$ por $x^{4}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.1

Divida cada termo em $x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$ por $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d g}{d x}}{x^{4}} = \frac{0}{x^{4}}$

Etapa 13.1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 13.1.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{4} \frac{d g}{d x}}{x^{4}} = \frac{0}{x^{4}}$

Etapa 13.1.4.2.1.2

Divida $\frac{d g}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{4}}$

Etapa 13.1.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.3.1

Divida $0$ por $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Etapa 14.3

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Etapa 14.4

Some $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + C$

Etapa 16

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} y^{2} - \frac{1}{x^{3}} (x y) + C$

Etapa 16.2

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (x y) + C$

Etapa 16.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{3}}$ para o numerador.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{3}} (x y) + C$

Etapa 16.3.2

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x y) + C$

Etapa 16.3.3

Fatore $x$ de $x y$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x (y)) + C$

Etapa 16.3.4

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x y) + C$

Etapa 16.3.5

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{2}} y + C$

Etapa 16.4

Combine $\frac{- 1}{x^{2}}$ e $y$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- y}{x^{2}} + C$

Etapa 16.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{y}{x^{2}} + C$