Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 0$ ; dengan $y (0) = 1$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 x d x}$

Etapa 1.2

Integre $2 x$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int x d x}$

Etapa 1.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{1 x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{x^{2}}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.3

Multiplique $e^{x^{2}}$ por $0$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 0$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 0$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 0 d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{x^{2}} y = \int 0 d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$e^{x^{2}} y = 0 + C$

Etapa 6.2

Some $0$ e $C$ .

$e^{x^{2}} y = C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{x^{2}} y = C$ por $e^{x^{2}}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{x^{2}} y = C$ por $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ .

$1 = \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Etapa 9

Resolva $C$ .

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Etapa 9.1

Reescreva a equação como $\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ .

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

Etapa 9.2

Multiplique os dois lados da equação por $e^{0^{2}}$ .

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

Etapa 9.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 9.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{0^{2}}$ .

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Etapa 9.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

Etapa 9.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$C = e^{0^{2}} \cdot 1$

Etapa 9.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.2.1

Simplifique $e^{0^{2}} \cdot 1$ .

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Etapa 9.3.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$C = e^{0} \cdot 1$

Etapa 9.3.2.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$C = 1 \cdot 1$

Etapa 9.3.2.1.3

Multiplique $1$ por $1$ .

$C = 1$

Etapa 10

Substitua $1$ por $C$ em $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ e simplifique.

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Etapa 10.1

Substitua $1$ por $C$ .

$y = \frac{1}{e^{x^{2}}}$