Cálculo Exemplos

$(3 x^{2} - 2 x - y) d x + (2 y - x + 3 y^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 x^{2} - 2 x - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} - 2 x - y]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 2 x - y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.2.2

Como $3 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.2.3

Como $- 2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 - \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 - 1$

Etapa 1.4

Combine os termos.

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Etapa 1.4.1

Some $0$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1$

Etapa 1.4.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 y - x + 3 y^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y - x + 3 y^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y - x + 3 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Etapa 2.4

Como $3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 + 0$

Etapa 2.5

Combine os termos.

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Etapa 2.5.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $- 1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = - 1$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- 1 = - 1$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} - 2 x - y d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = 3 x^{2} - 2 x - y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int - y d x$

Etapa 5.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int - y d x$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 x d x + \int - y d x$

Etapa 5.4

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int x d x + \int - y d x$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y d x$

Etapa 5.6

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y x + C$

Etapa 5.7

Simplifique.

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Etapa 5.7.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y x + C$

Etapa 5.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - y x + C$

Etapa 5.8

Simplifique.

$f (x, y) = x^{3} - x^{2} - y x + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} - x^{2} - y x + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y - x + 3 y^{2}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3} - x^{2} - y x + g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Etapa 8.2

Diferencie.

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Etapa 8.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - x^{2} - y x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Etapa 8.2.2

Como $x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{3}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Etapa 8.2.3

Como $- x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y x]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y x$ em relação a $y$ é $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 0 - x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 0 - x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 + 0 - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 0 - x + \frac{d g}{d y} = 2 y - x + 3 y^{2}$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1.1

Some $0$ e $0$ .

$0 - x + \frac{d g}{d y} = 2 y - x + 3 y^{2}$

Etapa 8.5.1.2

Subtraia $x$ de $0$ .

$- x + \frac{d g}{d y} = 2 y - x + 3 y^{2}$

Etapa 8.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - x = 2 y - x + 3 y^{2}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Some $x$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 2 y - x + 3 y^{2} + x$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $2 y - x + 3 y^{2} + x$ .

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Etapa 9.1.2.1

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 3 y^{2} + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $2 y + 3 y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 3 y^{2}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $2 y + 3 y^{2}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 2 y + 3 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y + 3 y^{2} d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y + 3 y^{2} d y$

Etapa 10.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (y) = \int 2 y d y + \int 3 y^{2} d y$

Etapa 10.4

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (y) = 2 \int y d y + \int 3 y^{2} d y$

Etapa 10.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 3 y^{2} d y$

Etapa 10.6

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 3 \int y^{2} d y$

Etapa 10.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Etapa 10.8

Simplifique.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Etapa 10.9

Simplifique.

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Etapa 10.9.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Etapa 10.9.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.9.2.1

Cancele o fator comum.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Etapa 10.9.2.2

Reescreva a expressão.

$g (y) = 1 y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Etapa 10.9.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$g (y) = y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Etapa 10.9.4

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = y^{2} + \frac{3}{3} y^{3} + C$

Etapa 10.9.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 10.9.5.1

Cancele o fator comum.

$g (y) = y^{2} + \frac{3}{3} y^{3} + C$

Etapa 10.9.5.2

Reescreva a expressão.

$g (y) = y^{2} + 1 y^{3} + C$

Etapa 10.9.6

Multiplique $y^{3}$ por $1$ .

$g (y) = y^{2} + y^{3} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = x^{3} - x^{2} - y x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} - x^{2} - y x + y^{2} + y^{3} + C$