Cálculo Exemplos

$x^{2} d y + 2 x (y d) x = 0$

Etapa 1

Subtraia $2 x y d x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} d y = - 2 x y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$\frac{1}{x^{2} y} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} y} (- 2 x y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2} (y)} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} y} (- 2 x y) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2} y} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} y} (- 2 x y) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y} (- 2 x y) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{x^{2} y} (x y) d x$

Etapa 3.3

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{x^{2} y} (x y) d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $x y$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $x y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{x y (x)} (x y) d x$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{x y x} (x y) d x$

Etapa 3.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Etapa 3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Etapa 4.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 4.3.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 4.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $\ln (| y |) + 2 \ln (| x |)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| y |) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Etapa 5.2.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| y |) + \ln (x^{2}) = C$

Etapa 5.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | x^{2}) = C$

Etapa 5.2.1.3

Reordene os fatores em $\ln (| y | x^{2})$ .

$\ln (x^{2} | y |) = C$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} | y |)} = e^{C}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (x^{2} | y |) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{2} | y |$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $x^{2} | y | = e^{C}$ .

$x^{2} | y | = e^{C}$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $x^{2} | y | = e^{C}$ por $x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $x^{2} | y | = e^{C}$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | y |}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} | y |}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.2.2.1.2

Divida $| y |$ por $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C \frac{1}{x^{2}}$