Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = 0.6 y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (0.6 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = 0.6 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.2

Combine $0.6$ e $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{0.6}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $y^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{0.6}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = 0.6$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0.6 d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 0.6 d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 0.6 d t$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 0.6 d t$

Etapa 2.2.1.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 0.6 d t$

Etapa 2.2.1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 0.6 d t$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $y$ é $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 0.6 d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 0.6 t + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 0.6 t + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 y^{\frac{1}{2}} = 0.6 t + K$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $2 y^{\frac{1}{2}} = 0.6 t + K$ por $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{0.6 t}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{0.6 t}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6 t}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.1

Fatore $0.6$ de $0.6 t$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6 (t)}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6 (t)}{2 (1)} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.3

Separe as frações.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6}{2} \cdot \frac{t}{1} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.4

Divida $0.6$ por $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 0.3 \frac{t}{1} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.5

Divida $t$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 0.3 t + \frac{K}{2}$

Etapa 3.2

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.2

Simplifique.

$y = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Reescreva ${(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$ como $(0.3 t + \frac{K}{2}) (0.3 t + \frac{K}{2})$ .

$y = (0.3 t + \frac{K}{2}) (0.3 t + \frac{K}{2})$

Etapa 3.3.2.1.2

Expanda $(0.3 t + \frac{K}{2}) (0.3 t + \frac{K}{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 0.3 t (0.3 t + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (0.3 t + \frac{K}{2})$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 0.3 t (0.3 t) + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t + \frac{K}{2})$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 0.3 t (0.3 t) + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = 0.3 \cdot 0.3 t \cdot t + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.2

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.2.1

Mova $t$ .

$y = 0.3 \cdot 0.3 (t \cdot t) + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.2.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$y = 0.3 \cdot 0.3 t^{2} + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.3

Multiplique $0.3$ por $0.3$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.4

Multiplique $0.3 t \frac{K}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.4.1

Combine $0.3$ e $\frac{K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + t \frac{0.3 K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.4.2

Combine $t$ e $\frac{0.3 K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{t (0.3 K)}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.5

Mova $0.3$ para a esquerda de $t$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3 \cdot t K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.6

Fatore $0.3$ de $0.3 \cdot t K$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3 (t K)}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.7

Fatore $2$ de $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3 (t K)}{2 (1)} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.8

Separe as frações.

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3}{2} \cdot \frac{t K}{1} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.9

Divida $0.3$ por $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 \frac{t K}{1} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.10

Divida $t K$ por $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 (t K) + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.11

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.3 \frac{K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.12

Combine $0.3$ e $\frac{K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3 K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.13

Fatore $0.3$ de $0.3 K$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3 K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.14

Fatore $2$ de $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3 K}{2 (1)} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.15

Separe as frações.

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3}{2} \cdot \frac{K}{1} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.16

Divida $0.3$ por $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 \frac{K}{1} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.17

Divida $K$ por $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.18

Multiplique $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.18.1

Multiplique $\frac{K}{2}$ por $\frac{K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.18.2

Eleve $K$ à potência de $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.18.3

Eleve $K$ à potência de $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.18.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.18.5

Some $1$ e $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.18.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Some $0.15 t K$ e $0.15 K t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.2.1

Mova $t$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 K t + 0.15 K t + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.3.2.2

Some $0.15 K t$ e $0.15 K t$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.3 K t + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.4

Simplifique $0.09 t^{2} + 0.3 K t + \frac{K^{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Mova $0.09 t^{2}$ .

$y = 0.3 K t + \frac{K^{2}}{4} + 0.09 t^{2}$

Etapa 3.4.2

Reordene $0.3 K t$ e $\frac{K^{2}}{4}$ .

$y = \frac{K^{2}}{4} + 0.3 K t + 0.09 t^{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = K + K t + 0.09 t^{2}$