Cálculo Exemplos

$(21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y) d x + (28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $21 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $21 x^{2} y^{4}$ em relação a $y$ é $21 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 21 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 21 x^{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $21$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 8 x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 8 x^{3} y$ em relação a $y$ é $- 8 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3} \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3}$

Etapa 1.5

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $28 y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $28 x^{3} y^{3}$ em relação a $x$ é $28 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 28 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 28 y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $28$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 2 (4 x^{3})$

Etapa 2.4.3

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 8 x^{3}$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 21 x^{2} y^{4} d x + \int - 8 x^{3} y d x$

Etapa 5.2

Como $21 y^{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $21 y^{4}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 21 y^{4} \int x^{2} d x + \int - 8 x^{3} y d x$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 8 x^{3} y d x$

Etapa 5.4

Como $- 8 y$ é constante com relação a $x$ , mova $- 8 y$ para fora da integral.

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 y \int x^{3} d x$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Etapa 5.6

Simplifique.

$f (x, y) = 21 \cdot \frac{1}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Etapa 5.7

Simplifique.

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Etapa 5.7.1

Combine $21$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{21}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Etapa 5.7.2

Cancele o fator comum de $21$ e $3$ .

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Etapa 5.7.2.1

Fatore $3$ de $21$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Etapa 5.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.7.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3 (1)} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Etapa 5.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Etapa 5.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{7}{1} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Etapa 5.7.2.2.4

Divida $7$ por $1$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Etapa 5.7.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 8 y \frac{x^{4}}{4} + C$

Etapa 5.7.4

Combine $- 8$ e $\frac{x^{4}}{4}$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y \frac{- 8 x^{4}}{4} + C$

Etapa 5.7.5

Combine $y$ e $\frac{- 8 x^{4}}{4}$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{y (- 8 x^{4})}{4} + C$

Etapa 5.7.6

Cancele o fator comum de $- 8$ e $4$ .

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Etapa 5.7.6.1

Fatore $4$ de $y (- 8 x^{4})$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4} + C$

Etapa 5.7.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.7.6.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4 (1)} + C$

Etapa 5.7.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4 \cdot 1} + C$

Etapa 5.7.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{y (- 2 x^{4})}{1} + C$

Etapa 5.7.6.2.4

Divida $y (- 2 x^{4})$ por $1$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $7 x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $7 y^{4} x^{3}$ em relação a $y$ é $7 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$7 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$7 x^{3} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $4$ por $7$ .

$28 x^{3} y^{3} + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Etapa 8.4

Avalie $\frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})]$ .

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Etapa 8.4.1

Como $- 2 x^{4}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y (- 2 x^{4})$ em relação a $y$ é $- 2 x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Etapa 8.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Etapa 8.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + \frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Etapa 8.6

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{4} + 28 x^{3} y^{3} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Some $2 x^{4}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + 28 x^{3} y^{3} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4}$

Etapa 9.1.2

Subtraia $28 x^{3} y^{3}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4} - 28 x^{3} y^{3}$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4} - 28 x^{3} y^{3}$ .

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Etapa 9.1.3.1

Some $- 2 x^{4}$ e $2 x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} + 0 - 28 x^{3} y^{3}$

Etapa 9.1.3.2

Some $28 x^{3} y^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 28 x^{3} y^{3}$

Etapa 9.1.3.3

Subtraia $28 x^{3} y^{3}$ de $28 x^{3} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Etapa 10.3

A integral de $0$ com relação a $y$ é $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Etapa 10.4

Some $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + C$

Etapa 12

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 2 y x^{4} + C$