Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + y}{x + x y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $y$ de $x y + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y}{x + x y}$

Etapa 1.1.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y^{1}}{x + x y}$

Etapa 1.1.3

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y \cdot 1}{x + x y}$

Etapa 1.1.4

Fatore $y$ de $y x + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x + x y}$

Etapa 1.2

Fatore $x$ de $x + x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x^{1} + x y}$

Etapa 1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot 1 + x y}$

Etapa 1.2.3

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot 1 + x (y)}$

Etapa 1.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot (1 + y)}$

Etapa 1.2.5

Multiplique $x$ por $1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x (1 + y)}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + y}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{1 + y}{y}$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} (\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + y})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{x + 1}{x}$ por $\frac{y}{1 + y}$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{x (1 + y)}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $1 + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Fatore $1 + y$ de $x (1 + y)$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{(1 + y) x}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{(1 + y) x}$

Etapa 1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{x}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Fatore $y$ de $(x + 1) y$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Etapa 1.5.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Etapa 1.5.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{1 + y}{y} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1 + y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{1}{y} + \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{y} d y + \int d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Etapa 2.2.5

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} + y + C_{2} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$\ln (| y |) + y + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Etapa 2.2.7

Reordene os termos.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a fração em diversas frações.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva a expressão.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + \ln (| x |) + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y + \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$