Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 (7 - x)}$ ; with $y (6) = 19$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{7 - x} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 7 - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 7 - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int - \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 2.3.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 - x$ .

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| 7 - x |)}{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $6$ por $x$ e $19$ por $y$ em $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ .

$19 = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - 6 |) + C$

Etapa 4

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$

Etapa 4.2

Simplifique $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Subtraia $6$ de $7$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 1 |) + C = 19$

Etapa 4.2.1.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (1) + C = 19$

Etapa 4.2.1.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + C = 19$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + C = 19$

Etapa 4.2.1.4.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$0 + C = 19$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $C$ .

$C = 19$

Etapa 5

Substitua $19$ por $C$ em $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $19$ por $C$ .

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + 19$

Etapa 5.2

Multiplique $- \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Reordene $\ln (| 7 - x |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$y = - (\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)) + 19$

Etapa 5.2.2

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$y = - \ln ({| 7 - x |}^{\frac{1}{3}}) + 19$