Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = y^{3}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{3}} y^{3}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{3}} y^{3}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d t} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{3}} d y = 1 d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int d t$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int d t$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int d t$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 3}$ com relação a $y$ é $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = t + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = t + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 y^{2}, 1, 1$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$2 y^{2}$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 y^{2}} = t + K$ por $2 y^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 y^{2}} = t + K$ por $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = t (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2 y^{2}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 y^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = t (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = t (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = t (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 1 = 2 t y^{2} + K (2 y^{2})$

Etapa 3.2.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 1 = 2 t y^{2} + 2 K y^{2}$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $2 t y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$2 t y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Etapa 3.3.2

Fatore $2 y^{2}$ de $2 t y^{2} + 2 K y^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Fatore $2 y^{2}$ de $2 t y^{2}$ .

$2 y^{2} (t) + 2 K y^{2} = - 1$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $2 y^{2}$ de $2 K y^{2}$ .

$2 y^{2} (t) + 2 y^{2} K = - 1$

Etapa 3.3.2.3

Fatore $2 y^{2}$ de $2 y^{2} (t) + 2 y^{2} K$ .

$2 y^{2} (t + K) = - 1$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $2 y^{2} (t + K) = - 1$ por $2 (t + K)$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $2 y^{2} (t + K) = - 1$ por $2 (t + K)$ .

$\frac{2 y^{2} (t + K)}{2 (t + K)} = \frac{- 1}{2 (t + K)}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{2} (t + K)}{2 (t + K)} = \frac{- 1}{2 (t + K)}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} (t + K)}{t + K} = \frac{- 1}{2 (t + K)}$

Etapa 3.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $t + K$ .

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Etapa 3.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} (t + K)}{t + K} = \frac{- 1}{2 (t + K)}$

Etapa 3.3.3.2.2.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (t + K)}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (t + K)}$

Etapa 3.3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

Etapa 3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

Etapa 3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

Etapa 3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$