Cálculo Exemplos

$x^{2} + x y + y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{x}{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d x}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d x}{d y}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x y + y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Subtraia $x y$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y$

Etapa 1.1.1.3

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$ por $- y^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$ por $- y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} \frac{d x}{d y}}{- y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Etapa 1.1.2.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Divida $\frac{d x}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x y}{y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.3.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.3.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y \cdot y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y \cdot y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.5

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + 1$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ como ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} = {(\frac{x}{y})}^{2} + \frac{x}{y} + 1$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{x}{y}$ . Substitua $V$ por $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = V^{2} + V + 1$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{x}{y}$ para $x$ .

$x = V y$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $x = V y$ com relação a $y$ .

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

Etapa 5

Substitua $y \frac{d V}{d y} + V$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = V^{2} + V + 1$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d y}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + V + 1 - V$

Etapa 6.1.1.1.2

Combine os termos opostos em $V^{2} + V + 1 - V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 0 + 1$

Etapa 6.1.1.1.2.2

Some $V^{2}$ e $0$ .

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$

Etapa 6.1.1.2

Divida cada termo em $y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$ por $y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.1

Divida cada termo em $y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$ por $y$ .

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Etapa 6.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Etapa 6.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Etapa 6.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{2} + 1}{y}$

Etapa 6.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{y}$

Etapa 6.1.4

Cancele o fator comum de $V^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{y}$

Etapa 6.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{y}$

Etapa 6.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{V^{2} + 1} d V = \frac{1}{y} d y$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Reordene $V^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 6.2.2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 6.2.2.2

A integral de $\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ com relação a $V$ é $\arctan (V) + C_{1}$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\arctan (V) = \ln (| y |) + C$

Etapa 6.3

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $V$ de dentro do arco tangente.

$V = \tan (\ln (| y |) + C)$

Etapa 7

Substitua $\frac{x}{y}$ por $V$ .

$\frac{x}{y} = \tan (\ln (| y |) + C)$

Etapa 8

Resolva $\frac{x}{y} = \tan (\ln (| y |) + C)$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$\frac{x}{y} y = \tan (\ln (| y |) + C) y$

Etapa 8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{y} y = \tan (\ln (| y |) + C) y$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = \tan (\ln (| y |) + C) y$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Reordene os fatores em $\tan (\ln (| y |) + C) y$ .

$x = y \tan (\ln (| y |) + C)$