Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + y = x^{3}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 1$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{3}$

Etapa 2.2

Reordene os fatores em $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{3}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{3} e^{x}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{3} e^{x}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{3} e^{x} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{x} y = \int x^{3} e^{x} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{3}$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x$

Etapa 6.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x)$

Etapa 6.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x$

Etapa 6.4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

Etapa 6.5

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

Etapa 6.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

Etapa 6.7

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

Etapa 6.8

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

Etapa 6.9

Reescreva $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ como $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ por $e^{x}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 7.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.2

Fatore $e^{x}$ de $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Fatore $e^{x}$ de $x^{2} e^{x}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Fatore $e^{x}$ de $- 2 x e^{x}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.2.3

Fatore $e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x) + e^{x} \cdot 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.2.4

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x)$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} (x^{2} - 2 x) + e^{x} \cdot 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.2.5

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (x^{2} - 2 x) + e^{x} \cdot 2$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} (x^{2} - 2 x + 2))}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

$y = x^{3} + \frac{- 3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.3

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 7.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y = x^{3} + \frac{- 3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.3.2

Divida $- 3 (x^{2} - 2 x + 2)$ por $1$ .

$y = x^{3} - 3 (x^{2} - 2 x + 2) + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y = x^{3} - 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 2 + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.5

Simplifique.

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Etapa 7.3.1.5.1

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 2 + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.5.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{C}{e^{x}}$