Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = - 2 x^{3}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 x d x}$

Etapa 1.2

Integre $2 x$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int x d x}$

Etapa 1.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{1 x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{x^{2}}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} (- 2 x^{3})$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (- 2 x^{3})$

Etapa 2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = - 2 e^{x^{2}} x^{3}$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = - 2 e^{x^{2}} x^{3}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = - 2 x^{3} e^{x^{2}}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = - 2 x^{3} e^{x^{2}}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int - 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{x^{2}} y = \int - 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$e^{x^{2}} y = - 2 \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Etapa 6.2

Deixe $u = x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.2.1

Deixe $u = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 6.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{x^{2}} y = - 2 \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $u$ .

$e^{x^{2}} y = - 2 \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Etapa 6.3.2

Combine $\frac{u}{2}$ e $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = - 2 \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Etapa 6.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{x^{2}} y = - 2 (\frac{1}{2} \int u e^{u} d u)$

Etapa 6.5

Simplifique.

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Etapa 6.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{- 2}{2} \int u e^{u} d u$

Etapa 6.5.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 6.5.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int u e^{u} d u$

Etapa 6.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int u e^{u} d u$

Etapa 6.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int u e^{u} d u$

Etapa 6.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{x^{2}} y = \frac{- 1}{1} \int u e^{u} d u$

Etapa 6.5.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$e^{x^{2}} y = - \int u e^{u} d u$

Etapa 6.6

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Etapa 6.7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Etapa 6.8

Simplifique.

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - e^{u}) + C$

Etapa 6.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = - (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Etapa 6.10

Simplifique.

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Etapa 6.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x^{2}} y = - (x^{2} e^{x^{2}}) - - e^{x^{2}} + C$

Etapa 6.10.2

Multiplique $- - e^{x^{2}}$ .

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Etapa 6.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + 1 e^{x^{2}} + C$

Etapa 6.10.2.2

Multiplique $e^{x^{2}}$ por $1$ .

$e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 7.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Divida $- x^{2}$ por $1$ .

$y = - x^{2} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 7.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = - x^{2} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y = - x^{2} + 1 + \frac{C}{e^{x^{2}}}$