Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81)$ , $y (\ln (3)) = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante com relação a $t$ , mova $4$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 4 \int e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{2} = e^{4 t} - 81$ . Depois, $d u_{2} = 4 e^{4 t} d t$ , então, $\frac{1}{4} d u_{2} = e^{4 t} d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{2} = e^{4 t} - 81$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $e^{4 t} - 81$ .

$\frac{d}{d t} [e^{4 t} - 81]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{4 t} - 81$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- 81]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- 81]$

Etapa 2.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [e^{4 t}]$ .

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Etapa 2.3.2.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 4 t$ .

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Etapa 2.3.2.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 81]$

Etapa 2.3.2.1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 81]$

Etapa 2.3.2.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 t$ .

$e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 81]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 t$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 81]$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{4 t} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 81]$

Etapa 2.3.2.1.3.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$e^{4 t} \cdot 4 + \frac{d}{d t} [- 81]$

Etapa 2.3.2.1.3.5

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 t}$ .

$4 e^{4 t} + \frac{d}{d t} [- 81]$

Etapa 2.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.2.1.4.1

Como $- 81$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 81$ em relação a $t$ é $0$ .

$4 e^{4 t} + 0$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Some $4 e^{4 t}$ e $0$ .

$4 e^{4 t}$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Combine $\sin (u_{2})$ e $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = 1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.5.3

Multiplique $\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.6

A integral de $\sin (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $- \cos (u_{2})$ .

$y + C_{1} = - \cos (u_{2}) + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{4 t} - 81$ .

$y + C_{1} = - \cos (e^{4 t} - 81) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - \cos (e^{4 t} - 81) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $\ln (3)$ por $t$ e $0$ por $y$ em $y = - \cos (e^{4 t} - 81) + K$ .

$0 = - \cos (e^{4 \ln (3)} - 81) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- \cos (e^{4 \ln (3)} - 81) + K = 0$ .

$- \cos (e^{4 \ln (3)} - 81) + K = 0$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1.1

Simplifique $4 \ln (3)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$- \cos (e^{\ln (3^{4})} - 81) + K = 0$

Etapa 4.2.1.1.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$- \cos (3^{4} - 81) + K = 0$

Etapa 4.2.1.1.3

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$- \cos (81 - 81) + K = 0$

Etapa 4.2.1.2

Subtraia $81$ de $81$ .

$- \cos (0) + K = 0$

Etapa 4.2.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = 0$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + K = 0$

Etapa 4.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$K = 1$

Etapa 5

Substitua $1$ por $K$ em $y = - \cos (e^{4 t} - 81) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $1$ por $K$ .

$y = - \cos (e^{4 t} - 81) + 1$