Cálculo Exemplos

$x d y - y^{2} d x = 0$

Etapa 1

Some $y^{2} d x$ aos dois lados da equação.

$x d y = y^{2} d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y^{2}} x d y = \frac{1}{x y^{2}} y^{2} d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x y^{2}$ .

$\frac{1}{x (y^{2})} x d y = \frac{1}{x y^{2}} y^{2} d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x y^{2}} x d y = \frac{1}{x y^{2}} y^{2} d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{x y^{2}} y^{2} d x$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} x} y^{2} d x$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} x} y^{2} d x$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.3

Reescreva $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{y} = \ln (| x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 1, 1$

Etapa 5.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y$

Etapa 5.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = \ln (| x |) + C$ por $y$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = \ln (| x |) + C$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = \ln (| x |) y + C y$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y} y = \ln (| x |) y + C y$

Etapa 5.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y} y = \ln (| x |) y + C y$

Etapa 5.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = \ln (| x |) y + C y$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Reordene os fatores em $\ln (| x |) y + C y$ .

$- 1 = y \ln (| x |) + C y$

Etapa 5.3

Resolva a equação.

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Etapa 5.3.1

Reescreva a equação como $y \ln (| x |) + C y = - 1$ .

$y \ln (| x |) + C y = - 1$

Etapa 5.3.2

Fatore $y$ de $y \ln (| x |) + C y$ .

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $y$ de $C y$ .

$y \ln (| x |) + y C = - 1$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $y$ de $y \ln (| x |) + y C$ .

$y (\ln (| x |) + C) = - 1$

Etapa 5.3.3

Divida cada termo em $y (\ln (| x |) + C) = - 1$ por $\ln (| x |) + C$ e simplifique.

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Etapa 5.3.3.1

Divida cada termo em $y (\ln (| x |) + C) = - 1$ por $\ln (| x |) + C$ .

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (| x |) + C$ .

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Etapa 5.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$